Номер 4, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 4, страница 250.

4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.

Запишите формулу разности квадратов

Формула разности квадратов гласит: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.
Математическая запись формулы:$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Докажите её

Для доказательства формулы необходимо раскрыть скобки в её правой части, то есть перемножить многочлены $(a - b)$ и $(a + b)$. Будем умножать каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Теперь упростим полученное выражение. Мы знаем, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$. Также, от перемены мест множителей произведение не меняется, поэтому $a \cdot b = b \cdot a$. Следовательно, члены $a \cdot b$ и $-b \cdot a$ являются противоположными и в сумме дают ноль: $ab - ba = 0$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства $(a - b)(a + b)$ и получили левую часть $a^2 - b^2$. Формула доказана.

Ответ: Доказательство выполнено путем раскрытия скобок в выражении $(a-b)(a+b)$, что в результате преобразований дает $a^2 - b^2$.

Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы

Вот несколько примеров выражений, которые представляют собой разность квадратов и могут быть разложены на множители:

• $x^2 - 25$. Здесь $a=x$, $b=5$. Раскладывается как $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
• $49y^2 - 1$. Здесь $a=7y$, $b=1$. Раскладывается как $(7y)^2 - 1^2 = (7y-1)(7y+1)$.
• $16m^2 - 81n^2$. Здесь $a=4m$, $b=9n$. Раскладывается как $(4m)^2 - (9n)^2 = (4m-9n)(4m+9n)$.
• $(a+3)^2 - c^2$. Здесь в качестве первого выражения выступает целая скобка $a=(a+3)$, а $b=c$. Раскладывается как $((a+3)-c)((a+3)+c) = (a+3-c)(a+3+c)$.

Ответ: Примеры выражений для разложения: $x^2 - 25$, $49y^2 - 1$, $16m^2 - 81n^2$, $(a+3)^2 - c^2$.