Номер 4, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 4, страница 250.

4 $5a^4 - 10a^3 + 10a^2.$

Для того чтобы разложить на множители многочлен $5a^4 - 10a^3 + 10a^2$, первым шагом является нахождение и вынесение за скобки общего множителя для всех его членов.

1. Определим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 5, -10 и 10. НОД(5, 10, 10) = 5.

2. Определим общую переменную часть. Все члены содержат переменную $a$. Наименьшая степень переменной $a$ в многочлене — это $a^2$.

3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен $5a^2$. Выносим его:

$5a^4 - 10a^3 + 10a^2 = 5a^2 \cdot \left(\frac{5a^4}{5a^2}\right) - 5a^2 \cdot \left(\frac{10a^3}{5a^2}\right) + 5a^2 \cdot \left(\frac{10a^2}{5a^2}\right)$

Выполним деление каждого члена на $5a^2$:

$5a^2(a^{4-2} - 2a^{3-2} + 2a^{2-2}) = 5a^2(a^2 - 2a + 2)$

4. Теперь проверим, можно ли разложить на множители выражение в скобках, то есть квадратный трехчлен $a^2 - 2a + 2$. Для этого найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=2$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данный квадратный трехчлен не имеет действительных корней и, следовательно, не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, полученное выражение является окончательным разложением на множители.

Ответ: $5a^2(a^2 - 2a + 2)$