Номер 6, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 6, страница 250.

6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Запишите формулу суммы кубов и докажите её

Формула суммы кубов двух выражений $a$ и $b$ имеет следующий вид:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Доказательство:

Для доказательства этого тождества достаточно раскрыть скобки в правой части выражения $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и убедиться, что полученный результат равен левой части $a^3 + b^3$.

Выполним умножение многочленов:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $+ba^2$ (что то же самое, что и $+a^2b$) взаимно уничтожаются. Аналогично, члены $+ab^2$ и $-ab^2$ также взаимно уничтожаются.

$a^3 \underbrace{- a^2b + a^2b}_{0} \underbrace{+ ab^2 - ab^2}_{0} + b^3 = a^3 + b^3$

Мы получили, что правая часть тождества равна левой: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Формула доказана.

Ответ: Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Доказательство заключается в раскрытии скобок в правой части формулы, что после приведения подобных слагаемых дает выражение $a^3 + b^3$.

Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Чтобы разложить на множители выражение $1 + \frac{1}{8}a^3$, необходимо представить его в виде суммы кубов, чтобы затем применить соответствующую формулу.

1. Представим каждое слагаемое в виде куба некоторого выражения.

Первое слагаемое — это $1$, что можно записать как $1^3$.

Второе слагаемое — это $\frac{1}{8}a^3$. Так как $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$, то все слагаемое можно записать как $(\frac{1}{2}a)^3$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + (\frac{1}{2}a)^3$

2. Теперь мы можем применить формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где в нашем случае $x = 1$, а $y = \frac{1}{2}a$.

Подставляем наши значения в формулу:

$1^3 + (\frac{1}{2}a)^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1^2 - 1 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2)$

3. Упростим выражение во второй скобке:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$

Это и является искомым разложением на множители.

Ответ: $1 + \frac{1}{8}a^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$.