Номер 2, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 2, страница 250.

2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

Вынесение за скобки общего множителя выполняется на основе распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения. Это свойство гласит, что для умножения суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В виде формулы это записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Операция вынесения общего множителя за скобки представляет собой применение этого свойства в обратном порядке: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Здесь $a$ — это общий множитель для слагаемых $ab$ и $ac$.

Ответ: вынесение за скобки общего множителя выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения.

---

Объяснение на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
   Коэффициенты у нас $12$ и $3$. Их наибольший общий делитель — это $3$.
   НОД(12, 3) = 3.
2. Найти общие переменные в наименьшей степени.
   • Переменная $a$ входит в первый член в степени $1$ ($a^1$) и во второй в степени $2$ ($a^2$). Выбираем наименьшую степень: $a^1$ или просто $a$.
   • Переменная $b$ входит в первый член в степени $2$ ($b^2$) и во второй в степени $1$ ($b^1$). Выбираем наименьшую степень: $b^1$ или просто $b$.
3. Сформировать общий множитель.
   Перемножаем результаты из шагов 1 и 2: $3 \cdot a \cdot b = 3ab$. Это и есть общий множитель, который мы будем выносить за скобки.
4. Разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель.
   Результаты деления составят выражение в скобках.
   • Делим первый член: $12ab^2 : (3ab) = (12:3) \cdot (a:a) \cdot (b^2:b) = 4 \cdot 1 \cdot b = 4b$.
   • Делим второй член: $3a^2b : (3ab) = (3:3) \cdot (a^2:a) \cdot (b:b) = 1 \cdot a \cdot 1 = a$.
5. Записать итоговое выражение.
   Записываем общий множитель, а в скобках — сумму результатов деления: $3ab(4b + a)$.

Таким образом, мы преобразовали сумму в произведение, вынеся общий множитель за скобки.

Ответ: $12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$.