Номер 933, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 933, страница 249.

933 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) представьте один из двучленов, заключённых в скобки, в виде суммы или разности двух других, например: $x - z = (x - y) + (y - z)$, а затем примените группировку;

2) раскройте скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируйте члены так, чтобы получился общий множитель:

a) $xy(x - y) - xz(x - z) + yz(y - z)$;

б) $x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$.

а) $xy(x - y) - xz(x - z) + yz(y - z)$

Способ 1: Представим один из двучленов в виде суммы или разности двух других и применим группировку.

Представим двучлен $(x - z)$ в виде суммы $(x - y) + (y - z)$ и подставим в исходное выражение:

$xy(x - y) - xz((x - y) + (y - z)) + yz(y - z)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$= xy(x - y) - xz(x - y) - xz(y - z) + yz(y - z)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(x - y)$ и $(y - z)$:

$= (xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$= (x - y)(xy - xz) + (y - z)(yz - xz)$

В получившихся двучленах также вынесем общие множители за скобки:

$= (x - y)x(y - z) + (y - z)z(y - x)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$, и подставим это в выражение:

$= x(x - y)(y - z) - z(y - z)(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)(y - z)$ за скобки:

$= (x - y)(y - z)(x - z)$

Способ 2: Раскроем скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируем члены.

Раскроем скобки в первых двух слагаемых исходного выражения:

$(x^2y - xy^2) - (x^2z - xz^2) + yz(y - z) = x^2y - xy^2 - x^2z + xz^2 + yz(y - z)$

Сгруппируем члены по степеням переменной $x$:

$= (x^2y - x^2z) - (xy^2 - xz^2) + yz(y - z)$

Вынесем общие множители $x^2$ и $x$ за скобки:

$= x^2(y - z) - x(y^2 - z^2) + yz(y - z)$

Применим формулу разности квадратов $y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)$:

$= x^2(y - z) - x(y - z)(y + z) + yz(y - z)$

Вынесем общий множитель $(y - z)$ за скобки:

$= (y - z)[x^2 - x(y + z) + yz]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= (y - z)[x^2 - xy - xz + yz]$

Сгруппируем члены внутри квадратных скобок:

$= (y - z)[(x^2 - xy) - (xz - yz)]$

Вынесем общие множители $x$ и $z$ из внутренних скобок:

$= (y - z)[x(x - y) - z(x - y)]$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$= (y - z)(x - y)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$.

---

б) $x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$

Способ 1: Представим один из двучленов в виде суммы или разности двух других.

Представим двучлен $(z - x)$ через два других: $(z - x) = (z - y) + (y - x) = -(y - z) - (x - y)$.

Подставим это выражение во второй член исходного уравнения:

$x^2(y - z) + y^2(-(y - z) - (x - y)) + z^2(x - y)$

Раскроем скобки:

$= x^2(y - z) - y^2(y - z) - y^2(x - y) + z^2(x - y)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(y - z)$ и $(x - y)$:

$= (x^2(y - z) - y^2(y - z)) + (z^2(x - y) - y^2(x - y))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$= (x^2 - y^2)(y - z) + (z^2 - y^2)(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$= (x - y)(x + y)(y - z) + (z - y)(z + y)(x - y)$

Заметим, что $(z - y) = -(y - z)$:

$= (x - y)(x + y)(y - z) - (y - z)(z + y)(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)(y - z)$ за скобки:

$= (x - y)(y - z)[(x + y) - (z + y)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$= (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z)$

Способ 2: Раскроем скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируем члены.

Раскроем первые два члена выражения, оставив третий без изменений для дальнейшей группировки:

$x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y) = x^2y - x^2z + y^2z - y^2x + z^2(x - y)$

Сгруппируем члены по переменной $z$:

$= (-x^2z + y^2z) + (x^2y - y^2x) + z^2(x - y)$

Вынесем общие множители из первых двух групп:

$= z(y^2 - x^2) + xy(x - y) + z^2(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)$:

$= -z(x - y)(x + y) + xy(x - y) + z^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$= (x - y)[-z(x + y) + xy + z^2]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= (x - y)[-zx - zy + xy + z^2]$

Сгруппируем члены внутри квадратных скобок:

$= (x - y)[(xy - zy) - (zx - z^2)]$

Вынесем общие множители $y$ и $z$ из внутренних скобок:

$= (x - y)[y(x - z) - z(x - z)]$

Вынесем общий множитель $(x - z)$ за скобки:

$= (x - y)(x - z)(y - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$.