Номер 927, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 927, страница 248.

927 Сократите дробь:

а) $\frac{x+2}{4-x^2}$;

б) $\frac{a^2-ax}{a^2-x^2}$;

В) $\frac{x^2-y^2}{2ay+2ax}$;

Г) $\frac{x^2+2xy+y^2}{2x^2-2y^2}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x+2}{4-x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x+2$ уже является простым выражением.
Знаменатель $4-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном случае $a=2$ и $b=x$, поэтому $4-x^2 = (2-x)(2+x)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{x+2}{4-x^2} = \frac{x+2}{(2-x)(2+x)}$
Множители $x+2$ и $2+x$ равны, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Сократим их:
$\frac{\cancel{x+2}}{(2-x)\cancel{(2+x)}} = \frac{1}{2-x}$
Ответ: $\frac{1}{2-x}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2-ax}{a^2-x^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $a^2-ax$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a-x)$.
Знаменатель $a^2-x^2$ — это разность квадратов, которая раскладывается как $(a-x)(a+x)$.
Запишем дробь с разложенными выражениями:
$\frac{a(a-x)}{(a-x)(a+x)}$
Сократим общий множитель $(a-x)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{a\cancel{(a-x)}}{\cancel{(a-x)}(a+x)} = \frac{a}{a+x}$
Ответ: $\frac{a}{a+x}$

в)

Сократим дробь $\frac{x^2-y^2}{2ay+2ax}$. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2-y^2$ является разностью квадратов: $(x-y)(x+y)$.
В знаменателе $2ay+2ax$ вынесем за скобки общий множитель $2a$: $2a(y+x)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-y)(x+y)}{2a(y+x)}$
Так как $x+y=y+x$, мы можем сократить этот общий множитель:
$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{2a\cancel{(y+x)}} = \frac{x-y}{2a}$
Ответ: $\frac{x-y}{2a}$

г)

Сократим дробь $\frac{x^2+2xy+y^2}{2x^2-2y^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2+2xy+y^2$ — это формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Следовательно, $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$.
В знаменателе $2x^2-2y^2$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2-y^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, поэтому $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Таким образом, знаменатель равен $2(x-y)(x+y)$.
Подставим полученные разложения в дробь:
$\frac{(x+y)^2}{2(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)(x+y)}{2(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x+y)$:
$\frac{(x+y)\cancel{(x+y)}}{2(x-y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x+y}{2(x-y)}$
Ответ: $\frac{x+y}{2(x-y)}$