Номер 923, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 923, страница 248.

923 Разложите на множители трёхчлен, заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов:

a) $x^2 + 6xy + 5y^2;$

б) $3a^2 + 10ab + 3b^2;$

в) $a^2 + 3a + 2;$

г) $x^2 + 8x + 7;$

д) $c^2 - 9bc + 20b^2;$

е) $n^2 + 2n - 3.$

а) $x^2 + 6xy + 5y^2$

Для разложения этого трёхчлена на множители представим средний член $6xy$ в виде суммы двух одночленов. Для этого нам нужно найти два числа, сумма которых равна 6 (коэффициент при $xy$), а произведение равно произведению коэффициентов при $x^2$ и $y^2$, то есть $1 \cdot 5 = 5$. Этими числами являются 1 и 5, так как $1 + 5 = 6$ и $1 \cdot 5 = 5$.

Заменяем $6xy$ на $xy + 5xy$ и раскладываем на множители методом группировки:

$x^2 + 6xy + 5y^2 = x^2 + xy + 5xy + 5y^2 = (x^2 + xy) + (5xy + 5y^2) = x(x+y) + 5y(x+y) = (x+y)(x+5y)$.

Ответ: $(x+y)(x+5y)$.

б) $3a^2 + 10ab + 3b^2$

Чтобы разложить трёхчлен, представим средний член $10ab$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно произведению крайних коэффициентов $3 \cdot 3 = 9$. Эти числа — 1 и 9, так как $1 + 9 = 10$ и $1 \cdot 9 = 9$.

Заменяем $10ab$ на $ab + 9ab$ и раскладываем на множители методом группировки:

$3a^2 + 10ab + 3b^2 = 3a^2 + ab + 9ab + 3b^2 = (3a^2 + ab) + (9ab + 3b^2) = a(3a+b) + 3b(3a+b) = (a+3b)(3a+b)$.

Ответ: $(a+3b)(3a+b)$.

в) $a^2 + 3a + 2$

Представим средний член $3a$ в виде суммы двух слагаемых. Нам нужны два числа, сумма которых равна 3, а произведение — $1 \cdot 2 = 2$. Это числа 1 и 2, поскольку $1+2=3$ и $1 \cdot 2=2$.

Заменяем $3a$ на $a + 2a$ и выполняем группировку:

$a^2 + 3a + 2 = a^2 + a + 2a + 2 = (a^2 + a) + (2a + 2) = a(a+1) + 2(a+1) = (a+1)(a+2)$.

Ответ: $(a+1)(a+2)$.

г) $x^2 + 8x + 7$

Представим средний член $8x$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение — $1 \cdot 7 = 7$. Это числа 1 и 7, так как $1+7=8$ и $1 \cdot 7=7$.

Заменяем $8x$ на $x + 7x$ и группируем:

$x^2 + 8x + 7 = x^2 + x + 7x + 7 = (x^2 + x) + (7x + 7) = x(x+1) + 7(x+1) = (x+1)(x+7)$.

Ответ: $(x+1)(x+7)$.

д) $c^2 - 9bc + 20b^2$

Представим средний член $-9bc$ в виде суммы. Нужны два числа, сумма которых равна -9, а произведение — $1 \cdot 20 = 20$. Так как сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа отрицательные. Это числа -4 и -5, так как $(-4) + (-5) = -9$ и $(-4) \cdot (-5) = 20$.

Заменяем $-9bc$ на $-4bc - 5bc$ и группируем слагаемые:

$c^2 - 9bc + 20b^2 = c^2 - 4bc - 5bc + 20b^2 = (c^2 - 4bc) - (5bc - 20b^2) = c(c-4b) - 5b(c-4b) = (c-4b)(c-5b)$.

Ответ: $(c-4b)(c-5b)$.

е) $n^2 + 2n - 3$

Представим средний член $2n$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 2, а произведение — $1 \cdot (-3) = -3$. Так как произведение отрицательно, числа имеют разные знаки. Так как сумма положительна, положительное число больше по модулю. Это числа 3 и -1, так как $3 + (-1) = 2$ и $3 \cdot (-1) = -3$.

Заменяем $2n$ на $3n - n$ и группируем:

$n^2 + 2n - 3 = n^2 + 3n - n - 3 = (n^2 + 3n) - (n + 3) = n(n+3) - 1(n+3) = (n-1)(n+3)$.

Ответ: $(n-1)(n+3)$.