Номер 922, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 922, страница 248.

922 Разложите на множители многочлен:

a) $xyz + 4xz + 3xy + 12x;$

б) $2a + a^2 + 2a^3 + a^4;$

в) $m^3 + m^2n - m^2a - mna;$

г) $b^4 - b^3 + b^2 - b.$

а) Для разложения на множители многочлена $xyz + 4xz + 3xy + 12x$ сначала вынесем за скобки общий для всех членов множитель $x$:
$xyz + 4xz + 3xy + 12x = x(yz + 4z + 3y + 12)$
Теперь применим метод группировки к выражению в скобках. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$x((yz + 4z) + (3y + 12))$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $z$, а во второй — $3$:
$x(z(y + 4) + 3(y + 4))$
Теперь общим множителем является выражение $(y + 4)$. Вынесем его за скобки:
$x(y + 4)(z + 3)$
Ответ: $x(y + 4)(z + 3)$

б) Рассмотрим многочлен $2a + a^2 + 2a^3 + a^4$. Для удобства переставим члены в порядке убывания степеней:
$a^4 + 2a^3 + a^2 + 2a$
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(a^4 + 2a^3) + (a^2 + 2a)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^3$, из второй — $a$:
$a^3(a + 2) + a(a + 2)$
Общий множитель $(a + 2)$ вынесем за скобки:
$(a + 2)(a^3 + a)$
Во втором множителе $(a^3 + a)$ можно вынести за скобки общий множитель $a$:
$(a + 2) \cdot a(a^2 + 1)$
Запишем множители в стандартном порядке:
$a(a + 2)(a^2 + 1)$
Ответ: $a(a + 2)(a^2 + 1)$

в) Разложим на множители многочлен $m^3 + m^2n - m^2a - mna$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки:
$m(m^2 + mn - ma - na)$
Теперь сгруппируем слагаемые в скобках. Сгруппируем первое со вторым, и третье с четвертым. Обратим внимание на знак минус перед второй группой:
$m((m^2 + mn) - (m^2a + mna)) = m((m^2 + mn) - (ma + na))$
Вынесем общие множители из каждой группы: $m$ из первой и $a$ из второй.
$m(m(m + n) - a(m + n))$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m + n)$:
$m(m + n)(m - a)$
Ответ: $m(m + n)(m - a)$

г) Разложим на множители многочлен $b^4 - b^3 + b^2 - b$. Сначала вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$b(b^3 - b^2 + b - 1)$
Применим метод группировки к выражению в скобках:
$b((b^3 - b^2) + (b - 1))$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b^2$, а из второй $1$:
$b(b^2(b - 1) + 1(b - 1))$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b - 1)$:
$b(b - 1)(b^2 + 1)$
Ответ: $b(b - 1)(b^2 + 1)$