Номер 921, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 921, страница 248.

921 Проверьте справедливость равенств:

$2 \cdot 3 + 3 = 3^2$; $3 \cdot 4 + 4 = 4^2$; $4 \cdot 5 + 5 = 5^2$.

Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

Проверьте справедливость равенств

Проверим каждое равенство поочередно, вычисляя значения левой и правой частей.

1. Для равенства $2 \cdot 3 + 3 = 3^2$:

Левая часть: $2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Правая часть: $3^2 = 9$.

Так как $9 = 9$, равенство справедливо.

2. Для равенства $3 \cdot 4 + 4 = 4^2$:

Левая часть: $3 \cdot 4 + 4 = 12 + 4 = 16$.

Правая часть: $4^2 = 16$.

Так как $16 = 16$, равенство справедливо.

3. Для равенства $4 \cdot 5 + 5 = 5^2$:

Левая часть: $4 \cdot 5 + 5 = 20 + 5 = 25$.

Правая часть: $5^2 = 25$.

Так как $25 = 25$, равенство справедливо.

Ответ: все представленные равенства справедливы.

Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа

Пусть даны два последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда следующее за ним (большее) число будет $n + 1$. По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Произведение этих двух чисел равно $n(n + 1)$.

Согласно условию, к этому произведению нужно прибавить большее из чисел, то есть $n + 1$. В результате получаем следующее алгебраическое выражение:

$n(n + 1) + (n + 1)$

Нам необходимо доказать, что это выражение равно квадрату большего числа, то есть $(n + 1)^2$.

Преобразуем полученное выражение. Вынесем общий множитель $(n + 1)$ за скобки:

$n \cdot (n + 1) + 1 \cdot (n + 1) = (n + 1)(n + 1)$

Произведение $(n + 1)$ на самого себя по определению степени есть квадрат этого числа:

$(n + 1)(n + 1) = (n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали тождество $n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)^2$, которое справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: утверждение доказано.