Номер 914, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.7. Несколько более сложных примеров. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 914, страница 247.

914 a) $n^4 + n^2 + 1$

б) $n^8 + n^4 + 1$

a) $n^4 + n^2 + 1$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Цель — получить выражение, которое можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Чтобы получить полный квадрат из выражения $n^4 + 1$, нам не хватает слагаемого $2n^2$. Добавим и вычтем $n^2$, чтобы не изменить исходное выражение:
$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=n^2$ и $b=1$:
$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$
Полученное выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$:
$(n^2 + 1)^2 - n^2 = ((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$
Для удобства упорядочим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной $n$:
$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

б) $n^8 + n^4 + 1$

Для разложения этого многочлена применим тот же самый метод, что и в пункте а). Выделим полный квадрат, добавив и вычтя слагаемое $n^4$:
$n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 - n^4$
Сгруппируем первые три члена, чтобы получить квадрат суммы, где $a=n^4$ и $b=1$:
$(n^8 + 2n^4 + 1) - n^4 = (n^4 + 1)^2 - n^4$
Заметим, что $n^4 = (n^2)^2$. Теперь у нас снова разность квадратов:
$(n^4 + 1)^2 - (n^2)^2$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = n^4 + 1$ и $b = n^2$:
$((n^4 + 1) - n^2)((n^4 + 1) + n^2)$
Упорядочим слагаемые в скобках:
$(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$
Обратим внимание, что второй множитель $(n^4 + n^2 + 1)$ — это в точности выражение, которое мы раскладывали в пункте а). Мы уже знаем его разложение:
$n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Подставим это разложение в наше выражение:
$(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Первый множитель $(n^4 - n^2 + 1)$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, мы получили окончательное разложение.
Ответ: $(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$