Номер 912, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 912, страница 245.

912 Решите уравнение относительно $x$:

a) $x^2 - m^2 = 0;$

б) $a^2 - x^2 = 0;$

в) $(x+4-a)(x+4+a) = 0;$

г) $25 - (x-b)^2 = 0.$

а) $x^2 - m^2 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов. Для его решения воспользуемся формулой $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A=x$ и $B=m$.

Разложим левую часть уравнения на множители:

$(x - m)(x + m) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы имеем два возможных случая:

1) $x - m = 0$, из чего следует, что $x = m$.

2) $x + m = 0$, из чего следует, что $x = -m$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = m, x_2 = -m$.

б) $a^2 - x^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=a$ и $B=x$.

$(a - x)(a + x) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

1) $a - x = 0$, откуда получаем $x = a$.

2) $a + x = 0$, откуда получаем $x = -a$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -a$.

в) $(x + 4 - a)(x + 4 + a) = 0$

Уравнение представлено в виде произведения двух скобок. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Первый множитель равен нулю:

$x + 4 - a = 0$

Выразим $x$:

$x = a - 4$

2) Второй множитель равен нулю:

$x + 4 + a = 0$

Выразим $x$:

$x = -a - 4$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $x_1 = a - 4, x_2 = -a - 4$.

г) $25 - (x - b)^2 = 0$

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов. Представим $25$ как $5^2$.

$5^2 - (x - b)^2 = 0$

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5$ и $B = (x - b)$.

$(5 - (x - b))(5 + (x - b)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(5 - x + b)(5 + x - b) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $5 - x + b = 0$

Выразим $x$:

$x = 5 + b$

2) $5 + x - b = 0$

Выразим $x$:

$x = b - 5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = b + 5, x_2 = b - 5$.