Номер 910, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 910, страница 245.

910 Найдите корни уравнения (для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом, рассмотренным в упражнении 896):

а) $x^2 + 4x + 3;$

б) $x^2 + 2x - 8;$

в) $x^2 - 2x - 3;$

г) $x^2 - 10x + 16.$

а) $x^2 + 4x + 3 = 0$

Чтобы найти корни уравнения, разложим многочлен $x^2 + 4x + 3$ на множители, используя метод выделения полного квадрата, как указано в задании. Выражение $x^2 + 4x$ является частью полного квадрата вида $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. Сравнивая $4x$ с $2ax$, получаем $2a=4$, откуда $a=2$. Полный квадрат: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Теперь представим исходный многочлен, добавив и вычтя недостающее число (в данном случае 4), чтобы выделить полный квадрат: $x^2 + 4x + 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1$. Получили уравнение $(x+2)^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x+2$ и $B = 1$. $((x+2) - 1)((x+2) + 1) = 0$ $(x+1)(x+3) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x+1=0 \implies x_1 = -1$ $x+3=0 \implies x_2 = -3$.

Ответ: $-3; -1$.

б) $x^2 + 2x - 8 = 0$

Разложим многочлен $x^2 + 2x - 8$ на множители методом выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 2x$. $x^2 + 2x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1$. Для получения полного квадрата $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ необходимо добавить и вычесть 1. $x^2 + 2x - 8 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 8 = (x+1)^2 - 9$. Решим уравнение $(x+1)^2 - 9 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x+1$ и $B = 3$: $(x+1)^2 - 3^2 = 0$ $((x+1) - 3)((x+1) + 3) = 0$ $(x-2)(x+4) = 0$. Корни уравнения: $x-2=0 \implies x_1 = 2$ $x+4=0 \implies x_2 = -4$.

Ответ: $-4; 2$.

в) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Разложим многочлен $x^2 - 2x - 3$ на множители, выделив полный квадрат. Выделим полный квадрат из $x^2 - 2x$. $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$. Для полного квадрата $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ необходимо добавить и вычесть 1. $x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$. Решим уравнение $(x-1)^2 - 4 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x-1$ и $B = 2$: $(x-1)^2 - 2^2 = 0$ $((x-1) - 2)((x-1) + 2) = 0$ $(x-3)(x+1) = 0$. Корни уравнения: $x-3=0 \implies x_1 = 3$ $x+1=0 \implies x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 3$.

г) $x^2 - 10x + 16 = 0$

Разложим многочлен $x^2 - 10x + 16$ на множители методом выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат из $x^2 - 10x$. $x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Для полного квадрата $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$ необходимо добавить и вычесть 25. $x^2 - 10x + 16 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 16 = (x-5)^2 - 9$. Решим уравнение $(x-5)^2 - 9 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x-5$ и $B = 3$: $(x-5)^2 - 3^2 = 0$ $((x-5) - 3)((x-5) + 3) = 0$ $(x-8)(x-2) = 0$. Корни уравнения: $x-8=0 \implies x_1 = 8$ $x-2=0 \implies x_2 = 2$.

Ответ: $2; 8$.