Номер 913, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.7. Несколько более сложных примеров. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 913, страница 247.

Разложите на множители многочлен (913–914).

913 a) $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$;

б) $x^4 + 4x^2 y^2 - 5y^4$.

a)

Дан многочлен $P(a) = a^3 - 5a^2 + 9a - 5$.
Для разложения на множители воспользуемся методом поиска целочисленных корней. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни многочлена являются делителями его свободного члена, то есть числа -5. Делители числа -5: $\pm1, \pm5$.
Проверим, является ли $a=1$ корнем многочлена:
$P(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 5 = 1 - 5 + 9 - 5 = 0$.
Поскольку $P(1)=0$, то $a=1$ — корень многочлена, и, следовательно, $(a-1)$ — один из его множителей.
Для нахождения второго множителя разделим многочлен $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$ на $(a-1)$ с помощью метода группировки. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности:

$a^3 - 5a^2 + 9a - 5 = a^3 - a^2 - 4a^2 + 4a + 5a - 5$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^3 - a^2) + (-4a^2 + 4a) + (5a - 5)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^2(a-1) - 4a(a-1) + 5(a-1)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a-1)$:
$(a-1)(a^2 - 4a + 5)$.

Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 5$. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Ответ: $(a-1)(a^2 - 4a + 5)$.

б)

Дан многочлен $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4$.
Этот многочлен является биквадратным относительно переменных $x$ и $y$. Введем замену $z = x^2$, чтобы привести его к виду квадратного трехчлена относительно $z$:
$(x^2)^2 + 4(x^2)y^2 - 5y^4 \rightarrow z^2 + 4zy^2 - 5(y^2)^2$.
Разложим полученный квадратный трехчлен $z^2 + 4y^2 \cdot z - 5y^4$ на множители. Для этого найдем два выражения, произведение которых равно свободному члену $-5y^4$, а сумма равна коэффициенту при $z$, то есть $4y^2$. Этими выражениями являются $5y^2$ и $-y^2$.
$z^2 + 4zy^2 - 5y^4 = z^2 + 5zy^2 - zy^2 - 5y^4$
$= z(z + 5y^2) - y^2(z + 5y^2)$
$= (z - y^2)(z + 5y^2)$.

Теперь выполним обратную замену $z = x^2$:
$(x^2 - y^2)(x^2 + 5y^2)$.
Множитель $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов и может быть разложен по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Множитель $(x^2 + 5y^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена:

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 + 5y^2)$.