Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители многочлен (913–914).

913 a) $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$;

б) $x^4 + 4x^2 y^2 - 5y^4$.

a)

Дан многочлен $P(a) = a^3 - 5a^2 + 9a - 5$.
Для разложения на множители воспользуемся методом поиска целочисленных корней. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни многочлена являются делителями его свободного члена, то есть числа -5. Делители числа -5: $\pm1, \pm5$.
Проверим, является ли $a=1$ корнем многочлена:
$P(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 5 = 1 - 5 + 9 - 5 = 0$.
Поскольку $P(1)=0$, то $a=1$ — корень многочлена, и, следовательно, $(a-1)$ — один из его множителей.
Для нахождения второго множителя разделим многочлен $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$ на $(a-1)$ с помощью метода группировки. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности:

$a^3 - 5a^2 + 9a - 5 = a^3 - a^2 - 4a^2 + 4a + 5a - 5$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^3 - a^2) + (-4a^2 + 4a) + (5a - 5)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a^2(a-1) - 4a(a-1) + 5(a-1)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a-1)$:
$(a-1)(a^2 - 4a + 5)$.

Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 5$. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Ответ: $(a-1)(a^2 - 4a + 5)$.

б)

Дан многочлен $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4$.
Этот многочлен является биквадратным относительно переменных $x$ и $y$. Введем замену $z = x^2$, чтобы привести его к виду квадратного трехчлена относительно $z$:
$(x^2)^2 + 4(x^2)y^2 - 5y^4 \rightarrow z^2 + 4zy^2 - 5(y^2)^2$.
Разложим полученный квадратный трехчлен $z^2 + 4y^2 \cdot z - 5y^4$ на множители. Для этого найдем два выражения, произведение которых равно свободному члену $-5y^4$, а сумма равна коэффициенту при $z$, то есть $4y^2$. Этими выражениями являются $5y^2$ и $-y^2$.
$z^2 + 4zy^2 - 5y^4 = z^2 + 5zy^2 - zy^2 - 5y^4$
$= z(z + 5y^2) - y^2(z + 5y^2)$
$= (z - y^2)(z + 5y^2)$.

Теперь выполним обратную замену $z = x^2$:
$(x^2 - y^2)(x^2 + 5y^2)$.
Множитель $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов и может быть разложен по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Множитель $(x^2 + 5y^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена:

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 + 5y^2)$.

914 a) $n^4 + n^2 + 1$

б) $n^8 + n^4 + 1$

a) $n^4 + n^2 + 1$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Цель — получить выражение, которое можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Чтобы получить полный квадрат из выражения $n^4 + 1$, нам не хватает слагаемого $2n^2$. Добавим и вычтем $n^2$, чтобы не изменить исходное выражение:
$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=n^2$ и $b=1$:
$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$
Полученное выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$:
$(n^2 + 1)^2 - n^2 = ((n^2 + 1) - n)((n^2 + 1) + n)$
Для удобства упорядочим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной $n$:
$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

б) $n^8 + n^4 + 1$

Для разложения этого многочлена применим тот же самый метод, что и в пункте а). Выделим полный квадрат, добавив и вычтя слагаемое $n^4$:
$n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 - n^4$
Сгруппируем первые три члена, чтобы получить квадрат суммы, где $a=n^4$ и $b=1$:
$(n^8 + 2n^4 + 1) - n^4 = (n^4 + 1)^2 - n^4$
Заметим, что $n^4 = (n^2)^2$. Теперь у нас снова разность квадратов:
$(n^4 + 1)^2 - (n^2)^2$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = n^4 + 1$ и $b = n^2$:
$((n^4 + 1) - n^2)((n^4 + 1) + n^2)$
Упорядочим слагаемые в скобках:
$(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$
Обратим внимание, что второй множитель $(n^4 + n^2 + 1)$ — это в точности выражение, которое мы раскладывали в пункте а). Мы уже знаем его разложение:
$n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Подставим это разложение в наше выражение:
$(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$
Первый множитель $(n^4 - n^2 + 1)$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, мы получили окончательное разложение.
Ответ: $(n^4 - n^2 + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

915 Решите уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$.

Данное уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$ является биквадратным, так как содержит переменную только в четвертой и второй степенях.

Для решения таких уравнений используется метод замены переменной. Введем новую переменную $t$, положив $t = x^2$.

Важно отметить, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменим $x^2$ на $t$ в исходном уравнении. Учитывая, что $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получаем следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать, например, с помощью вычисления дискриминанта. Для уравнения вида $at^2 + bt + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Поскольку дискриминант $D=36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $x^2 = t$. При этом нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения $t$ условию $t \ge 0$.

1. Рассмотрим корень $t_1 = 1$.
Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому выполняем обратную замену: $x^2 = 1$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Рассмотрим корень $t_2 = -5$.
Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$, так как $-5 < 0$. Уравнение $x^2 = -5$ не имеет решений в области действительных чисел. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.

916 Докажите разными способами, что:

а) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$;

б) $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

а) Докажем тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ разными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в правой части равенства, умножив $(a - b)$ на многочлен $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$:
$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$
Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.

Способ 2: Деление многочленов
Согласно теореме Безу, многочлен $P(a) = a^5 - b^5$ делится на двучлен $(a-b)$ без остатка, так как $P(b) = b^5 - b^5 = 0$. Выполним деление многочлена $a^5 - b^5$ на $(a - b)$ столбиком:

 a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴ _________________________a - b | a⁵ - b⁵ -(a⁵ - a⁴b) ───────── a⁴b -(a⁴b - a³b²) ───────── a³b² -(a³b² - a²b³) ───────── a²b³ -(a²b³ - ab⁴) ───────── ab⁴ - b⁵ -(ab⁴ - b⁵) ───────── 0 

В результате деления получили частное $a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4$ и остаток 0. Это означает, что $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

Способ 3: Использование общей формулы разности степеней
Данное тождество является частным случаем общей формулы разности n-ых степеней:
$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \dots + y^{n-1})$
При $n=5$, $x=a$ и $y=b$ формула принимает вид:
$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано всеми тремя способами.

б) Докажем тождество $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$ разными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в правой части равенства:
$(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
$= (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 + a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5$
Промежуточные члены со знаками плюс и минус взаимно уничтожаются:
$a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5$
Правая часть тождественно равна левой.

Способ 2: Использование тождества из пункта а)
Возьмем доказанное тождество из пункта а): $x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$.
Произведем в нем замену переменных: пусть $x = a$ и $y = -b$.
Тогда левая часть превратится в:
$x^5 - y^5 = a^5 - (-b)^5 = a^5 - (-b^5) = a^5 + b^5$.
Правая часть превратится в:
$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = (a - (-b))(a^4 + a^3(-b) + a^2(-b)^2 + a(-b)^3 + (-b)^4)$
$= (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Приравняв полученные выражения для левой и правой частей, мы приходим к искомому тождеству:
$a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

Способ 3: Использование общей формулы суммы степеней
Данное тождество является частным случаем общей формулы суммы n-ых степеней для нечетных $n$:
$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$
Так как $n=5$ является нечетным числом, при $x=a$ и $y=b$ формула принимает вид:
$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано всеми тремя способами.

917 Вынесите за скобки общий множитель:

a) $a(x - 2) - b(x - 2) + c(2 - x);$

б) $2a(x - y) + 2b(y - x) - c(x - y).$

а) $a(x - 2) + b(x - 2) + c(2 - x)$

Для того чтобы вынести общий множитель, необходимо привести все скобки к одному виду. Заметим, что выражение в третьем слагаемом $(2 - x)$ можно представить как $-(x - 2)$. Это делается путем вынесения $-1$ за скобку: $(2 - x) = -1 \cdot (-2 + x) = -(x - 2)$.

Преобразуем третье слагаемое исходного выражения:

$c(2 - x) = c \cdot (-(x - 2)) = -c(x - 2)$

Теперь подставим преобразованное слагаемое обратно в выражение:

$a(x - 2) + b(x - 2) - c(x - 2)$

Теперь мы видим, что общим множителем для всех трех слагаемых является $(x - 2)$. Вынесем его за скобки, а в скобках запишем то, что останется от каждого слагаемого:

$(x - 2)(a + b - c)$

Ответ: $(x - 2)(a + b - c)$

б) $2a(x - y) + 2b(y - x) - c(x - y)$

В этом выражении мы видим, что в первом и третьем слагаемых есть множитель $(x - y)$, а во втором слагаемом — множитель $(y - x)$. Эти множители отличаются только знаком. Мы можем записать, что $(y - x) = -(x - y)$.

Подставим это преобразование во второе слагаемое исходного выражения:

$2b(y - x) = 2b \cdot (-(x - y)) = -2b(x - y)$

Теперь исходное выражение примет вид:

$2a(x - y) - 2b(x - y) - c(x - y)$

Общий множитель для всех слагаемых — $(x - y)$. Вынесем его за скобки. В скобках останутся коэффициенты, которые стояли перед $(x - y)$ в каждом слагаемом:

$(x - y)(2a - 2b - c)$

Ответ: $(x - y)(2a - 2b - c)$

918 Упростите выражение, применяя способ вынесения за скобки общего множителя:

а) $x(x^2 + xy + y^2) - x(x^2 - xy + y^2)$;

б) $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n.

а) Чтобы упростить данное выражение, заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $x$. Вынесем его за скобки:

$x(x^2 + xy + y^2) - x(x^2 - xy + y^2) = x((x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2))$

Теперь раскроем скобки внутри и приведём подобные слагаемые. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой, который меняет знаки всех слагаемых в ней на противоположные:

$x(x^2 + xy + y^2 - x^2 + xy - y^2)$

Сгруппируем и вычислим подобные члены:

$x((x^2 - x^2) + (xy + xy) + (y^2 - y^2)) = x(0 + 2xy + 0) = x(2xy)$

Выполним умножение:

$x \cdot 2xy = 2x^2y$

Ответ: $2x^2y$

б) Сначала упростим выражение, находящееся в больших скобках: $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))$. Общий множитель здесь — $m$. Вынесем его за скобки:

$m((3m - 2n) - (3n - 2m))$

Раскроем внутренние скобки:

$m(3m - 2n - 3n + 2m)$

Приведём подобные слагаемые внутри скобок:

$m((3m + 2m) + (-2n - 3n)) = m(5m - 5n)$

В выражении $(5m - 5n)$ можно вынести за скобки общий множитель 5:

$m(5(m - n)) = 5m(m - n)$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную часть. Все выражение нужно умножить на $n$:

$(5m(m - n))n = 5mn(m - n)$

Ответ: $5mn(m - n)$

919 Вынесите за скобки общий множитель:

а) $2^{n+1} + 2^n;$

б) $5^{n-1} - 5^{n+1};$

в) $3^{2n} - 3^n;$

г) $7^{n+1} + 7^n + 7.$

а)

В выражении $2^{n+1} + 2^n$ необходимо найти общий множитель. Для этого используем свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Представим слагаемое $2^{n+1}$ в виде произведения: $2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^n$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $2 \cdot 2^n + 2^n$.

Общим множителем для обоих слагаемых является $2^n$. Выносим его за скобки:

$2^n(2 + 1)$.

Выполняем сложение в скобках:

$2^n \cdot 3$.

Для стандартной записи, числовой коэффициент ставится перед степенью.

Ответ: $3 \cdot 2^n$.

б)

В выражении $5^{n-1} - 5^{n+1}$ общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $5^{n-1}$.

Представим $5^{n+1}$ через $5^{n-1}$, используя свойства степеней: $5^{n+1} = 5^{(n-1)+2} = 5^{n-1} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{n-1}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$5^{n-1} - 25 \cdot 5^{n-1}$.

Вынесем общий множитель $5^{n-1}$ за скобки:

$5^{n-1}(1 - 25)$.

Вычисляем разность в скобках:

$5^{n-1} \cdot (-24)$.

Ответ: $-24 \cdot 5^{n-1}$.

в)

Рассмотрим выражение $3^{2n} - 3^n$.

Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$. Мы можем записать $3^{2n}$ как $(3^n)^2$ или как $3^n \cdot 3^n$.

Тогда выражение примет вид: $3^n \cdot 3^n - 3^n$.

Общим множителем для уменьшаемого и вычитаемого является $3^n$. Выносим его за скобки:

$3^n(3^n - 1)$.

Это выражение является окончательным, так как в скобках дальнейших упрощений нет.

Ответ: $3^n(3^n - 1)$.

г)

В выражении $7^{n+1} + 7^n + 7$ три слагаемых. Заметим, что $7 = 7^1$.

Если предположить, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то наименьшая степень семерки в выражении — это $7^1$. Поэтому общим множителем, который можно вынести за скобки, является число $7$.

Представим каждое слагаемое в виде произведения с множителем 7:

$7^{n+1} = 7^1 \cdot 7^n = 7 \cdot 7^n$

$7^n = 7^1 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1}$

$7 = 7 \cdot 1$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$7 \cdot 7^n + 7 \cdot 7^{n-1} + 7 \cdot 1$.

Выносим общий множитель $7$ за скобки:

$7(7^n + 7^{n-1} + 1)$.

Ответ: $7(7^n + 7^{n-1} + 1)$.