Страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

929 а) $3z^2 - 12;$

б) $2x^2 - 50;$

в) $5a^2 + 10a + 5;$

г) $2y^2 - 8y + 8;$

д) $2b^3 + 54;$

е) $3m^3 - 81;$

ж) $x^3 + 2x^2 + x;$

з) $ax^2 - a;$

и) $m - m^3;$

к) $4x^2 + 8x + 4;$

л) $9y - 4y^3;$

м) $ax^3 - 8a.$

а) $3z^2 - 12$

Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3z^2 - 12 = 3(z^2 - 4)$

Теперь выражение в скобках, $z^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $z^2$ это квадрат $z$, а 4 это квадрат 2. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$3(z^2 - 2^2) = 3(z - 2)(z + 2)$

Ответ: $3(z - 2)(z + 2)$

б) $2x^2 - 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25)$

Выражение в скобках, $x^2 - 25$, является разностью квадратов ($x^2$ и $5^2$). Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$2(x^2 - 5^2) = 2(x - 5)(x + 5)$

Ответ: $2(x - 5)(x + 5)$

в) $5a^2 + 10a + 5$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5a^2 + 10a + 5 = 5(a^2 + 2a + 1)$

Выражение в скобках, $a^2 + 2a + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=1$:

$5(a + 1)^2$

Ответ: $5(a + 1)^2$

г) $2y^2 - 8y + 8$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2y^2 - 8y + 8 = 2(y^2 - 4y + 4)$

Выражение в скобках, $y^2 - 4y + 4$, является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=y$ и $y=2$:

$2(y - 2)^2$

Ответ: $2(y - 2)^2$

д) $2b^3 + 54$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2b^3 + 54 = 2(b^3 + 27)$

Выражение в скобках, $b^3 + 27$, является суммой кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=b$ и $b=3$:

$2(b^3 + 3^3) = 2(b + 3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = 2(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$

Ответ: $2(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$

е) $3m^3 - 81$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m^3 - 81 = 3(m^3 - 27)$

Выражение в скобках, $m^3 - 27$, является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=m$ и $b=3$:

$3(m^3 - 3^3) = 3(m - 3)(m^2 + m \cdot 3 + 3^2) = 3(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$

Ответ: $3(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$

ж) $x^3 + 2x^2 + x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$:

$x(x + 1)^2$

Ответ: $x(x + 1)^2$

з) $ax^2 - a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax^2 - a = a(x^2 - 1)$

Выражение в скобках, $x^2 - 1$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a(x^2 - 1^2) = a(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $a(x - 1)(x + 1)$

и) $m - m^3$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m - m^3 = m(1 - m^2)$

Выражение в скобках, $1 - m^2$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$m(1^2 - m^2) = m(1 - m)(1 + m)$

Ответ: $m(1 - m)(1 + m)$

к) $4x^2 + 8x + 4$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$:

$4(x + 1)^2$

Ответ: $4(x + 1)^2$

л) $9y - 4y^3$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$9y - 4y^3 = y(9 - 4y^2)$

Выражение в скобках, $9 - 4y^2$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y(3^2 - (2y)^2) = y(3 - 2y)(3 + 2y)$

Ответ: $y(3 - 2y)(3 + 2y)$

м) $ax^3 - 8a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax^3 - 8a = a(x^3 - 8)$

Выражение в скобках, $x^3 - 8$, является разностью кубов, так как $8 = 2^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=x$ и $b=2$:

$a(x^3 - 2^3) = a(x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = a(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Ответ: $a(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

930 a) $a^3(a-b) - b^3(a-b);$

б) $x^3 + 8y^3 - (x + 2y);$

В) $p^3(p-1) - 8(p-1);$

Г) $(a^3 + b^3) + ab(a + b).$

а) $a^3(a - b) - b^3(a - b)$

Чтобы разложить на множители данное выражение, вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^3 - b^3)$

Теперь применим формулу разности кубов, которая выглядит так: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x=a$ и $y=b$. Применив формулу к выражению $(a^3 - b^3)$, получим:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Это можно записать в более компактном виде:

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2)$

б) $x^3 + 8y^3 - (x + 2y)$

Сначала разложим на множители часть выражения $x^3 + 8y^3$, используя формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В нашем случае $A = x$ и $B = 2y$, так как $8y^3 = (2y)^3$.

$x^3 + (2y)^3 = (x + 2y)(x^2 - x(2y) + (2y)^2) = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) - (x + 2y)$

Мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2y)((x^2 - 2xy + 4y^2) - 1)$

Ответ: $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 - 1)$

в) $p^3(p - 1) - 8(p - 1)$

Вынесем общий множитель $(p - 1)$ за скобки:

$(p - 1)(p^3 - 8)$

Теперь разложим на множители выражение $(p^3 - 8)$, используя формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В нашем случае $A = p$ и $B = 2$, так как $8 = 2^3$.

$p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + p \cdot 2 + 2^2) = (p - 2)(p^2 + 2p + 4)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(p - 1)(p - 2)(p^2 + 2p + 4)$

Ответ: $(p - 1)(p - 2)(p^2 + 2p + 4)$

г) $(a^3 + b^3) + ab(a + b)$

Разложим на множители выражение $(a^3 + b^3)$, используя формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) + ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) + ab)$

Упростим выражение во вторых скобках, сократив $-ab$ и $+ab$:

$a^2 - ab + b^2 + ab = a^2 + b^2$

В результате получаем:

$(a + b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a + b)(a^2 + b^2)$

931 a) $2x^3 - 2xy^2 - 6x^2 + 6y^2;$

б) $5a^2 - 5b^2 - 10a^3b + 10ab^3;$

в) $36x^3 - 144x - 36x^2 + 144;$

г) $y^3 + ay^2 - b^2y - b^2a.$

а) Разложим на множители многочлен $2x^3 - 2xy^2 - 6x^2 + 6y^2$.

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(2x^3 - 2xy^2) + (-6x^2 + 6y^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2x$, во второй — $-6$.

$2x(x^2 - y^2) - 6(x^2 - y^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - y^2)$, который также можно вынести за скобки:

$(x^2 - y^2)(2x - 6)$

Заметим, что оба выражения в скобках можно разложить дальше. Выражение $(x^2 - y^2)$ — это формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В выражении $(2x - 6)$ можно вынести за скобки общий множитель 2: $2(x - 3)$.

Подставим полученные разложения в итоговое выражение:

$(x - y)(x + y) \cdot 2(x - 3)$

Запишем в стандартном виде:

$2(x - 3)(x - y)(x + y)$

Ответ: $2(x - 3)(x - y)(x + y)$.

б) Разложим на множители многочлен $5a^2 - 5b^2 - 10a^3b + 10ab^3$.

Сгруппируем члены: первый с вторым и третий с четвертым.

$(5a^2 - 5b^2) + (-10a^3b + 10ab^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем 5, из второй — $-10ab$, чтобы получить одинаковое выражение в скобках.

$5(a^2 - b^2) - 10ab(a^2 - b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(5 - 10ab)$

Разложим на множители выражения в каждой из скобок. $(a^2 - b^2)$ — это разность квадратов: $(a - b)(a + b)$. В выражении $(5 - 10ab)$ вынесем за скобки 5: $5(1 - 2ab)$.

В результате получаем:

$(a - b)(a + b) \cdot 5(1 - 2ab)$

Запишем в стандартном виде:

$5(a - b)(a + b)(1 - 2ab)$

Ответ: $5(a - b)(a + b)(1 - 2ab)$.

в) Разложим на множители многочлен $36x^3 - 144x - 36x^2 + 144$.

Для удобства сначала переставим члены многочлена: $36x^3 - 36x^2 - 144x + 144$.

Сгруппируем их попарно: $(36x^3 - 36x^2) + (-144x + 144)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $36x^2$, во второй — $-144$.

$36x^2(x - 1) - 144(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(36x^2 - 144)$

Во второй скобке $(36x^2 - 144)$ можно вынести за скобки общий множитель 36:

$(x - 1) \cdot 36(x^2 - 4) = 36(x - 1)(x^2 - 4)$

Выражение $(x^2 - 4)$ — это разность квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

Окончательное разложение:

$36(x - 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $36(x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

г) Разложим на множители многочлен $y^3 + ay^2 - b^2y - b^2a$.

Сгруппируем члены многочлена: $(y^3 + ay^2) + (-b^2y - b^2a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $y^2$, во второй — $-b^2$.

$y^2(y + a) - b^2(y + a)$

Вынесем общий множитель $(y + a)$ за скобки:

$(y + a)(y^2 - b^2)$

Второй множитель $(y^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле: $y^2 - b^2 = (y - b)(y + b)$.

Получаем окончательное разложение:

$(y + a)(y - b)(y + b)$

Ответ: $(y + a)(y - b)(y + b)$.

932 Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$;

б) $\frac{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}{x^2 - y^2 + z^2 + 2xz}$.

а) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$

Для того чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим на множители числитель $a^3 - a^2 - a + 1$. Сгруппируем слагаемые:

$(a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a - 1) - 1(a - 1) = (a - 1)(a^2 - 1)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к выражению $a^2 - 1$:

$(a - 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)^2(a + 1)$

Теперь разложим на множители знаменатель $a^4 - 2a^2 + 1$. Это выражение является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a^2$ и $y=1$:

$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$

Применив снова формулу разности квадратов, получим:

$(a^2 - 1)^2 = ((a - 1)(a + 1))^2 = (a - 1)^2(a + 1)^2$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a - 1)^2(a + 1)}{(a - 1)^2(a + 1)^2}$

Сократим общие множители $(a - 1)^2$ и $(a + 1)$:

$\frac{\cancel{(a - 1)^2}\cancel{(a + 1)}}{\cancel{(a - 1)^2}(a + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a + 1}$

Ответ: $\frac{1}{a + 1}$

б) $\frac{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}{x^2 - y^2 + z^2 + 2xz}$

Для сокращения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + y^2 - z^2 + 2xy$. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = (x + y)^2 - z^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + y - z)(x + y + z)$

Разложим знаменатель $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz$. Также сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(x^2 + 2xz + z^2) - y^2 = (x + z)^2 - y^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(x + z - y)(x + z + y) = (x - y + z)(x + y + z)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(x + y - z)(x + y + z)}{(x - y + z)(x + y + z)}$

Сократим общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{(x + y - z)\cancel{(x + y + z)}}{(x - y + z)\cancel{(x + y + z)}} = \frac{x + y - z}{x - y + z}$

Ответ: $\frac{x + y - z}{x - y + z}$

933 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) представьте один из двучленов, заключённых в скобки, в виде суммы или разности двух других, например: $x - z = (x - y) + (y - z)$, а затем примените группировку;

2) раскройте скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируйте члены так, чтобы получился общий множитель:

a) $xy(x - y) - xz(x - z) + yz(y - z)$;

б) $x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$.

а) $xy(x - y) - xz(x - z) + yz(y - z)$

Способ 1: Представим один из двучленов в виде суммы или разности двух других и применим группировку.

Представим двучлен $(x - z)$ в виде суммы $(x - y) + (y - z)$ и подставим в исходное выражение:

$xy(x - y) - xz((x - y) + (y - z)) + yz(y - z)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$= xy(x - y) - xz(x - y) - xz(y - z) + yz(y - z)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(x - y)$ и $(y - z)$:

$= (xy(x - y) - xz(x - y)) + (yz(y - z) - xz(y - z))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$= (x - y)(xy - xz) + (y - z)(yz - xz)$

В получившихся двучленах также вынесем общие множители за скобки:

$= (x - y)x(y - z) + (y - z)z(y - x)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$, и подставим это в выражение:

$= x(x - y)(y - z) - z(y - z)(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)(y - z)$ за скобки:

$= (x - y)(y - z)(x - z)$

Способ 2: Раскроем скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируем члены.

Раскроем скобки в первых двух слагаемых исходного выражения:

$(x^2y - xy^2) - (x^2z - xz^2) + yz(y - z) = x^2y - xy^2 - x^2z + xz^2 + yz(y - z)$

Сгруппируем члены по степеням переменной $x$:

$= (x^2y - x^2z) - (xy^2 - xz^2) + yz(y - z)$

Вынесем общие множители $x^2$ и $x$ за скобки:

$= x^2(y - z) - x(y^2 - z^2) + yz(y - z)$

Применим формулу разности квадратов $y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)$:

$= x^2(y - z) - x(y - z)(y + z) + yz(y - z)$

Вынесем общий множитель $(y - z)$ за скобки:

$= (y - z)[x^2 - x(y + z) + yz]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= (y - z)[x^2 - xy - xz + yz]$

Сгруппируем члены внутри квадратных скобок:

$= (y - z)[(x^2 - xy) - (xz - yz)]$

Вынесем общие множители $x$ и $z$ из внутренних скобок:

$= (y - z)[x(x - y) - z(x - y)]$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$= (y - z)(x - y)(x - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$.

б) $x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$

Способ 1: Представим один из двучленов в виде суммы или разности двух других.

Представим двучлен $(z - x)$ через два других: $(z - x) = (z - y) + (y - x) = -(y - z) - (x - y)$.

Подставим это выражение во второй член исходного уравнения:

$x^2(y - z) + y^2(-(y - z) - (x - y)) + z^2(x - y)$

Раскроем скобки:

$= x^2(y - z) - y^2(y - z) - y^2(x - y) + z^2(x - y)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(y - z)$ и $(x - y)$:

$= (x^2(y - z) - y^2(y - z)) + (z^2(x - y) - y^2(x - y))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$= (x^2 - y^2)(y - z) + (z^2 - y^2)(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$= (x - y)(x + y)(y - z) + (z - y)(z + y)(x - y)$

Заметим, что $(z - y) = -(y - z)$:

$= (x - y)(x + y)(y - z) - (y - z)(z + y)(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)(y - z)$ за скобки:

$= (x - y)(y - z)[(x + y) - (z + y)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$= (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z)$

Способ 2: Раскроем скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируем члены.

Раскроем первые два члена выражения, оставив третий без изменений для дальнейшей группировки:

$x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y) = x^2y - x^2z + y^2z - y^2x + z^2(x - y)$

Сгруппируем члены по переменной $z$:

$= (-x^2z + y^2z) + (x^2y - y^2x) + z^2(x - y)$

Вынесем общие множители из первых двух групп:

$= z(y^2 - x^2) + xy(x - y) + z^2(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)$:

$= -z(x - y)(x + y) + xy(x - y) + z^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$= (x - y)[-z(x + y) + xy + z^2]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= (x - y)[-zx - zy + xy + z^2]$

Сгруппируем члены внутри квадратных скобок:

$= (x - y)[(xy - zy) - (zx - z^2)]$

Вынесем общие множители $y$ и $z$ из внутренних скобок:

$= (x - y)[y(x - z) - z(x - z)]$

Вынесем общий множитель $(x - z)$ за скобки:

$= (x - y)(x - z)(y - z)$

Ответ: $(x - y)(y - z)(x - z)$.

934 Решите уравнение:

a) $(x - 2)(x + 3) = x(2 - x)$;

б) $x(2x + 1) = (2x + 1)^2$;

в) $5(9 - x^2) = x(x - 3)$;

г) $2x(x + 1) = x^2 - 1$.

а) $(x - 2)(x + 3) = x(2 - x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 2x - x^2$
$x^2 + x - 6 = 2x - x^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x^2 + x - 2x - 6 = 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1.5$.

б) $x(2x + 1) = (2x + 1)^2$
Перенесем все члены в одну часть уравнения:
$x(2x + 1) - (2x + 1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:
$(2x + 1)(x - (2x + 1)) = 0$
$(2x + 1)(x - 2x - 1) = 0$
$(2x + 1)(-x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
$2x + 1 = 0$ или $-x - 1 = 0$
Решим первое уравнение:
$2x = -1$
$x_1 = -0.5$
Решим второе уравнение:
$-x = 1$
$x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = -1$.

в) $5(9 - x^2) = x(x - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$45 - 5x^2 = x^2 - 3x$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$0 = x^2 + 5x^2 - 3x - 45$
$6x^2 - 3x - 45 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -2.5$.

г) $2x(x + 1) = x^2 - 1$
Заметим, что правая часть является разностью квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
$2x(x + 1) = (x - 1)(x + 1)$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x(x + 1) - (x - 1)(x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:
$(x + 1)(2x - (x - 1)) = 0$
$(x + 1)(2x - x + 1) = 0$
$(x + 1)(x + 1) = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

935 При каких значениях переменной равны значения выражений:

а) $5x(x - 1)$ и $x - 1$;

б) $b - 6$ и $2b(b - 6)$?

а) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения выражений $5x(x - 1)$ и $x - 1$ равны, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное уравнение:

$5x(x - 1) = x - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$5x(x - 1) - (x - 1) = 0$

Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(5x - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы получаем два уравнения:

1) $x - 1 = 0$

$x_1 = 1$

2) $5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x_2 = \frac{1}{5}$

Таким образом, выражения равны при $x = 1$ и $x = \frac{1}{5}$.
Ответ: $1$; $\frac{1}{5}$.

б) Чтобы найти значения переменной $b$, при которых значения выражений $b - 6$ и $2b(b - 6)$ равны, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное уравнение:

$b - 6 = 2b(b - 6)$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения (например, в правую):

$0 = 2b(b - 6) - (b - 6)$

Вынесем за скобку общий множитель $(b - 6)$:

$(b - 6)(2b - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы получаем два уравнения:

1) $b - 6 = 0$

$b_1 = 6$

2) $2b - 1 = 0$

$2b = 1$

$b_2 = \frac{1}{2}$

Таким образом, выражения равны при $b = 6$ и $b = \frac{1}{2}$.
Ответ: $6$; $\frac{1}{2}$.

Найдите корни уравнения (936—937).

936 а) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 - 25 = 0$;

б) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 - 9 = 0$;

в) $4 - (x - \frac{x}{5})^2 = 0$;

г) $1 - (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2 = 0$.

а) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 - 25 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов. Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 = 25$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = \frac{3x - 2x}{6} = \frac{x}{6}$

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$(\frac{x}{6})^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$\frac{x}{6} = \pm\sqrt{25}$

$\frac{x}{6} = \pm 5$

Это дает нам два уравнения:

1) $\frac{x}{6} = 5 \implies x = 5 \cdot 6 = 30$

2) $\frac{x}{6} = -5 \implies x = -5 \cdot 6 = -30$

Ответ: $x_1 = 30, x_2 = -30$.

б) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 - 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть уравнения:

$(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 = 9$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{2x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{2x - x}{4} = \frac{x}{4}$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$(\frac{x}{4})^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{x}{4} = \pm\sqrt{9}$

$\frac{x}{4} = \pm 3$

Рассмотрим два возможных случая:

1) $\frac{x}{4} = 3 \implies x = 3 \cdot 4 = 12$

2) $\frac{x}{4} = -3 \implies x = -3 \cdot 4 = -12$

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -12$.

в) $4 - (x - \frac{x}{5})^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть, чтобы выделить его:

$4 = (x - \frac{x}{5})^2$

Упростим выражение в скобках:

$x - \frac{x}{5} = \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{5x - x}{5} = \frac{4x}{5}$

Подставим упрощенное выражение в уравнение:

$4 = (\frac{4x}{5})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{4} = \frac{4x}{5}$

$\pm 2 = \frac{4x}{5}$

Получаем два уравнения:

1) $\frac{4x}{5} = 2 \implies 4x = 10 \implies x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

2) $\frac{4x}{5} = -2 \implies 4x = -10 \implies x = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x_1 = 2.5, x_2 = -2.5$.

г) $1 - (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть:

$1 = (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = \frac{5x}{15} - \frac{3x}{15} = \frac{5x - 3x}{15} = \frac{2x}{15}$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$1 = (\frac{2x}{15})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{1} = \frac{2x}{15}$

$\pm 1 = \frac{2x}{15}$

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{2x}{15} = 1 \implies 2x = 15 \implies x = \frac{15}{2} = 7.5$

2) $\frac{2x}{15} = -1 \implies 2x = -15 \implies x = -\frac{15}{2} = -7.5$

Ответ: $x_1 = 7.5, x_2 = -7.5$.

937 a) $x^3 - 4x^2 + 4x = 0;$

б) $2x^3 + 24x^2 + 72x = 0;$

в) $1 - 3x + x^2 - 3x^3 = 0;$

г) $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4x + 4) = 0$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$x(x-2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $(x-2)^2 = 0 \implies x-2=0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

б) $2x^3 + 24x^2 + 72x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x^2 + 12x + 36) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$

Уравнение можно переписать в виде:

$2x(x+6)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $(x+6)^2 = 0 \implies x+6=0 \implies x_2 = -6$

Ответ: $-6; 0$.

в) $1 - 3x + x^2 - 3x^3 = 0$

Для решения применим метод группировки слагаемых:

$(1 - 3x) + (x^2 - 3x^3) = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ из второй скобки:

$(1 - 3x) + x^2(1 - 3x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(1-3x)$ за скобки:

$(1 - 3x)(1 + x^2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $1 - 3x = 0 \implies 3x=1 \implies x = \frac{1}{3}$

2) $1 + x^2 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у уравнения только один действительный корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 - 4x^2) + (-4x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 4) - 4(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2-4)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 4)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три возможных случая:

1) $x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

3) $x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-2; 2; 4$.