Номер 931, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 931, страница 249.

931 a) $2x^3 - 2xy^2 - 6x^2 + 6y^2;$

б) $5a^2 - 5b^2 - 10a^3b + 10ab^3;$

в) $36x^3 - 144x - 36x^2 + 144;$

г) $y^3 + ay^2 - b^2y - b^2a.$

а) Разложим на множители многочлен $2x^3 - 2xy^2 - 6x^2 + 6y^2$.

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(2x^3 - 2xy^2) + (-6x^2 + 6y^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2x$, во второй — $-6$.

$2x(x^2 - y^2) - 6(x^2 - y^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - y^2)$, который также можно вынести за скобки:

$(x^2 - y^2)(2x - 6)$

Заметим, что оба выражения в скобках можно разложить дальше. Выражение $(x^2 - y^2)$ — это формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В выражении $(2x - 6)$ можно вынести за скобки общий множитель 2: $2(x - 3)$.

Подставим полученные разложения в итоговое выражение:

$(x - y)(x + y) \cdot 2(x - 3)$

Запишем в стандартном виде:

$2(x - 3)(x - y)(x + y)$

Ответ: $2(x - 3)(x - y)(x + y)$.

б) Разложим на множители многочлен $5a^2 - 5b^2 - 10a^3b + 10ab^3$.

Сгруппируем члены: первый с вторым и третий с четвертым.

$(5a^2 - 5b^2) + (-10a^3b + 10ab^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем 5, из второй — $-10ab$, чтобы получить одинаковое выражение в скобках.

$5(a^2 - b^2) - 10ab(a^2 - b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(5 - 10ab)$

Разложим на множители выражения в каждой из скобок. $(a^2 - b^2)$ — это разность квадратов: $(a - b)(a + b)$. В выражении $(5 - 10ab)$ вынесем за скобки 5: $5(1 - 2ab)$.

В результате получаем:

$(a - b)(a + b) \cdot 5(1 - 2ab)$

Запишем в стандартном виде:

$5(a - b)(a + b)(1 - 2ab)$

Ответ: $5(a - b)(a + b)(1 - 2ab)$.

в) Разложим на множители многочлен $36x^3 - 144x - 36x^2 + 144$.

Для удобства сначала переставим члены многочлена: $36x^3 - 36x^2 - 144x + 144$.

Сгруппируем их попарно: $(36x^3 - 36x^2) + (-144x + 144)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $36x^2$, во второй — $-144$.

$36x^2(x - 1) - 144(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(36x^2 - 144)$

Во второй скобке $(36x^2 - 144)$ можно вынести за скобки общий множитель 36:

$(x - 1) \cdot 36(x^2 - 4) = 36(x - 1)(x^2 - 4)$

Выражение $(x^2 - 4)$ — это разность квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

Окончательное разложение:

$36(x - 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $36(x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

г) Разложим на множители многочлен $y^3 + ay^2 - b^2y - b^2a$.

Сгруппируем члены многочлена: $(y^3 + ay^2) + (-b^2y - b^2a)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $y^2$, во второй — $-b^2$.

$y^2(y + a) - b^2(y + a)$

Вынесем общий множитель $(y + a)$ за скобки:

$(y + a)(y^2 - b^2)$

Второй множитель $(y^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле: $y^2 - b^2 = (y - b)(y + b)$.

Получаем окончательное разложение:

$(y + a)(y - b)(y + b)$

Ответ: $(y + a)(y - b)(y + b)$.