Номер 924, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 924, страница 248.

924 Разложите на множители:

a) $3xyz + x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y.$

Указание. Представьте выражение $3xyz$ в виде суммы $xyz + xyz + xyz$ и сгруппируйте члены многочлена.

б) $3abc + ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) + ab + bc + ac.$

а)

Дано выражение: $3xyz + x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y$. Согласно указанию, представим $3xyz$ как сумму $xyz + xyz + xyz$ и перепишем выражение, упорядочив слагаемые: $x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y + xyz + xyz + xyz$. Сгруппируем члены многочлена так, чтобы в каждой группе можно было вынести общую переменную: $(x^2y + x^2z + xyz) + (y^2x + y^2z + xyz) + (z^2x + z^2y + xyz)$. Теперь вынесем общий множитель из каждой группы: $x(xy + xz + yz) + y(yx + yz + xz) + z(zx + zy + xy)$. Как видно, все три слагаемых имеют общий многочлен в скобках $(xy + yz + zx)$. Вынесем его за скобки: $(x+y+z)(xy+yz+zx)$.

Ответ: $(x+y+z)(xy+yz+zx)$

б)

Дано выражение: $3abc + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) + ab + bc + ac$. Для начала раскроем скобки в выражении: $3abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + ab + bc + ac$. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить две части: выражение, аналогичное задаче из пункта а), и оставшиеся члены: $(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 3abc) + (ab + bc + ac)$. Первая группа слагаемых в скобках — это симметрический многочлен от $a, b, c$. Из решения пункта а) мы знаем, что для переменных $x, y, z$ справедливо тождество: $x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y + 3xyz = (x+y+z)(xy+yz+zx)$. Применив этот результат к нашему выражению (заменив $x, y, z$ на $a, b, c$), получим: $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ac)$. Теперь подставим это разложение обратно в наше выражение: $(a+b+c)(ab+bc+ac) + (ab+bc+ac)$. Мы можем вынести общий множитель $(ab+bc+ac)$ за скобку: $(ab+bc+ac)((a+b+c) + 1)$. В итоге получаем: $(a+b+c+1)(ab+bc+ac)$.

Ответ: $(a+b+c+1)(ab+bc+ac)$