Номер 919, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 919, страница 247.

919 Вынесите за скобки общий множитель:

а) $2^{n+1} + 2^n;$

б) $5^{n-1} - 5^{n+1};$

в) $3^{2n} - 3^n;$

г) $7^{n+1} + 7^n + 7.$

а)

В выражении $2^{n+1} + 2^n$ необходимо найти общий множитель. Для этого используем свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

Представим слагаемое $2^{n+1}$ в виде произведения: $2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^n$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $2 \cdot 2^n + 2^n$.

Общим множителем для обоих слагаемых является $2^n$. Выносим его за скобки:

$2^n(2 + 1)$.

Выполняем сложение в скобках:

$2^n \cdot 3$.

Для стандартной записи, числовой коэффициент ставится перед степенью.

Ответ: $3 \cdot 2^n$.

б)

В выражении $5^{n-1} - 5^{n+1}$ общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $5^{n-1}$.

Представим $5^{n+1}$ через $5^{n-1}$, используя свойства степеней: $5^{n+1} = 5^{(n-1)+2} = 5^{n-1} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{n-1}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$5^{n-1} - 25 \cdot 5^{n-1}$.

Вынесем общий множитель $5^{n-1}$ за скобки:

$5^{n-1}(1 - 25)$.

Вычисляем разность в скобках:

$5^{n-1} \cdot (-24)$.

Ответ: $-24 \cdot 5^{n-1}$.

в)

Рассмотрим выражение $3^{2n} - 3^n$.

Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$. Мы можем записать $3^{2n}$ как $(3^n)^2$ или как $3^n \cdot 3^n$.

Тогда выражение примет вид: $3^n \cdot 3^n - 3^n$.

Общим множителем для уменьшаемого и вычитаемого является $3^n$. Выносим его за скобки:

$3^n(3^n - 1)$.

Это выражение является окончательным, так как в скобках дальнейших упрощений нет.

Ответ: $3^n(3^n - 1)$.

г)

В выражении $7^{n+1} + 7^n + 7$ три слагаемых. Заметим, что $7 = 7^1$.

Если предположить, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то наименьшая степень семерки в выражении — это $7^1$. Поэтому общим множителем, который можно вынести за скобки, является число $7$.

Представим каждое слагаемое в виде произведения с множителем 7:

$7^{n+1} = 7^1 \cdot 7^n = 7 \cdot 7^n$

$7^n = 7^1 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1}$

$7 = 7 \cdot 1$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$7 \cdot 7^n + 7 \cdot 7^{n-1} + 7 \cdot 1$.

Выносим общий множитель $7$ за скобки:

$7(7^n + 7^{n-1} + 1)$.

Ответ: $7(7^n + 7^{n-1} + 1)$.