Номер 915, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.7. Несколько более сложных примеров. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 915, страница 247.

915 Решите уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$.

Данное уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$ является биквадратным, так как содержит переменную только в четвертой и второй степенях.

Для решения таких уравнений используется метод замены переменной. Введем новую переменную $t$, положив $t = x^2$.

Важно отметить, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменим $x^2$ на $t$ в исходном уравнении. Учитывая, что $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получаем следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать, например, с помощью вычисления дискриминанта. Для уравнения вида $at^2 + bt + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Поскольку дискриминант $D=36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $x^2 = t$. При этом нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения $t$ условию $t \ge 0$.

1. Рассмотрим корень $t_1 = 1$.
Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому выполняем обратную замену: $x^2 = 1$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Рассмотрим корень $t_2 = -5$.
Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$, так как $-5 < 0$. Уравнение $x^2 = -5$ не имеет решений в области действительных чисел. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.