Номер 916, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.7. Несколько более сложных примеров. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 916, страница 247.

916 Докажите разными способами, что:

а) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$;

б) $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

а) Докажем тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ разными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в правой части равенства, умножив $(a - b)$ на многочлен $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$:
$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$
Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5$
Таким образом, правая часть тождественно равна левой.

Способ 2: Деление многочленов
Согласно теореме Безу, многочлен $P(a) = a^5 - b^5$ делится на двучлен $(a-b)$ без остатка, так как $P(b) = b^5 - b^5 = 0$. Выполним деление многочлена $a^5 - b^5$ на $(a - b)$ столбиком:

 a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴ _________________________a - b | a⁵ - b⁵ -(a⁵ - a⁴b) ───────── a⁴b -(a⁴b - a³b²) ───────── a³b² -(a³b² - a²b³) ───────── a²b³ -(a²b³ - ab⁴) ───────── ab⁴ - b⁵ -(ab⁴ - b⁵) ───────── 0 

В результате деления получили частное $a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4$ и остаток 0. Это означает, что $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

Способ 3: Использование общей формулы разности степеней
Данное тождество является частным случаем общей формулы разности n-ых степеней:
$x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \dots + y^{n-1})$
При $n=5$, $x=a$ и $y=b$ формула принимает вид:
$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано всеми тремя способами.

---

б) Докажем тождество $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$ разными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в правой части равенства:
$(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
$= (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 + a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5$
Промежуточные члены со знаками плюс и минус взаимно уничтожаются:
$a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5$
Правая часть тождественно равна левой.

Способ 2: Использование тождества из пункта а)
Возьмем доказанное тождество из пункта а): $x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$.
Произведем в нем замену переменных: пусть $x = a$ и $y = -b$.
Тогда левая часть превратится в:
$x^5 - y^5 = a^5 - (-b)^5 = a^5 - (-b^5) = a^5 + b^5$.
Правая часть превратится в:
$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = (a - (-b))(a^4 + a^3(-b) + a^2(-b)^2 + a(-b)^3 + (-b)^4)$
$= (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Приравняв полученные выражения для левой и правой частей, мы приходим к искомому тождеству:
$a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

Способ 3: Использование общей формулы суммы степеней
Данное тождество является частным случаем общей формулы суммы n-ых степеней для нечетных $n$:
$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$
Так как $n=5$ является нечетным числом, при $x=a$ и $y=b$ формула принимает вид:
$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано всеми тремя способами.