Номер 929, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 929, страница 249.

929 а) $3z^2 - 12;$

б) $2x^2 - 50;$

в) $5a^2 + 10a + 5;$

г) $2y^2 - 8y + 8;$

д) $2b^3 + 54;$

е) $3m^3 - 81;$

ж) $x^3 + 2x^2 + x;$

з) $ax^2 - a;$

и) $m - m^3;$

к) $4x^2 + 8x + 4;$

л) $9y - 4y^3;$

м) $ax^3 - 8a.$

а) $3z^2 - 12$

Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3z^2 - 12 = 3(z^2 - 4)$

Теперь выражение в скобках, $z^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $z^2$ это квадрат $z$, а 4 это квадрат 2. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$3(z^2 - 2^2) = 3(z - 2)(z + 2)$

Ответ: $3(z - 2)(z + 2)$

б) $2x^2 - 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x^2 - 50 = 2(x^2 - 25)$

Выражение в скобках, $x^2 - 25$, является разностью квадратов ($x^2$ и $5^2$). Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$2(x^2 - 5^2) = 2(x - 5)(x + 5)$

Ответ: $2(x - 5)(x + 5)$

в) $5a^2 + 10a + 5$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5a^2 + 10a + 5 = 5(a^2 + 2a + 1)$

Выражение в скобках, $a^2 + 2a + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=1$:

$5(a + 1)^2$

Ответ: $5(a + 1)^2$

г) $2y^2 - 8y + 8$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2y^2 - 8y + 8 = 2(y^2 - 4y + 4)$

Выражение в скобках, $y^2 - 4y + 4$, является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=y$ и $y=2$:

$2(y - 2)^2$

Ответ: $2(y - 2)^2$

д) $2b^3 + 54$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2b^3 + 54 = 2(b^3 + 27)$

Выражение в скобках, $b^3 + 27$, является суммой кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=b$ и $b=3$:

$2(b^3 + 3^3) = 2(b + 3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = 2(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$

Ответ: $2(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$

е) $3m^3 - 81$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m^3 - 81 = 3(m^3 - 27)$

Выражение в скобках, $m^3 - 27$, является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=m$ и $b=3$:

$3(m^3 - 3^3) = 3(m - 3)(m^2 + m \cdot 3 + 3^2) = 3(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$

Ответ: $3(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$

ж) $x^3 + 2x^2 + x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$:

$x(x + 1)^2$

Ответ: $x(x + 1)^2$

з) $ax^2 - a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax^2 - a = a(x^2 - 1)$

Выражение в скобках, $x^2 - 1$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a(x^2 - 1^2) = a(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $a(x - 1)(x + 1)$

и) $m - m^3$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m - m^3 = m(1 - m^2)$

Выражение в скобках, $1 - m^2$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$m(1^2 - m^2) = m(1 - m)(1 + m)$

Ответ: $m(1 - m)(1 + m)$

к) $4x^2 + 8x + 4$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$:

$4(x + 1)^2$

Ответ: $4(x + 1)^2$

л) $9y - 4y^3$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$9y - 4y^3 = y(9 - 4y^2)$

Выражение в скобках, $9 - 4y^2$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y(3^2 - (2y)^2) = y(3 - 2y)(3 + 2y)$

Ответ: $y(3 - 2y)(3 + 2y)$

м) $ax^3 - 8a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax^3 - 8a = a(x^3 - 8)$

Выражение в скобках, $x^3 - 8$, является разностью кубов, так как $8 = 2^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=x$ и $b=2$:

$a(x^3 - 2^3) = a(x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = a(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Ответ: $a(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$