Номер 934, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 934, страница 249.

934 Решите уравнение:

a) $(x - 2)(x + 3) = x(2 - x)$;

б) $x(2x + 1) = (2x + 1)^2$;

в) $5(9 - x^2) = x(x - 3)$;

г) $2x(x + 1) = x^2 - 1$.

а) $(x - 2)(x + 3) = x(2 - x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 2x - x^2$
$x^2 + x - 6 = 2x - x^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x^2 + x - 2x - 6 = 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1.5$.

б) $x(2x + 1) = (2x + 1)^2$
Перенесем все члены в одну часть уравнения:
$x(2x + 1) - (2x + 1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:
$(2x + 1)(x - (2x + 1)) = 0$
$(2x + 1)(x - 2x - 1) = 0$
$(2x + 1)(-x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
$2x + 1 = 0$ или $-x - 1 = 0$
Решим первое уравнение:
$2x = -1$
$x_1 = -0.5$
Решим второе уравнение:
$-x = 1$
$x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = -1$.

в) $5(9 - x^2) = x(x - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$45 - 5x^2 = x^2 - 3x$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$0 = x^2 + 5x^2 - 3x - 45$
$6x^2 - 3x - 45 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -2.5$.

г) $2x(x + 1) = x^2 - 1$
Заметим, что правая часть является разностью квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
$2x(x + 1) = (x - 1)(x + 1)$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x(x + 1) - (x - 1)(x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:
$(x + 1)(2x - (x - 1)) = 0$
$(x + 1)(2x - x + 1) = 0$
$(x + 1)(x + 1) = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.