Номер 936, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 936, страница 249.

Найдите корни уравнения (936—937).

936 а) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 - 25 = 0$;

б) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 - 9 = 0$;

в) $4 - (x - \frac{x}{5})^2 = 0$;

г) $1 - (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2 = 0$.

а) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 - 25 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов. Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$(\frac{x}{2} - \frac{x}{3})^2 = 25$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = \frac{3x - 2x}{6} = \frac{x}{6}$

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$(\frac{x}{6})^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$\frac{x}{6} = \pm\sqrt{25}$

$\frac{x}{6} = \pm 5$

Это дает нам два уравнения:

1) $\frac{x}{6} = 5 \implies x = 5 \cdot 6 = 30$

2) $\frac{x}{6} = -5 \implies x = -5 \cdot 6 = -30$

Ответ: $x_1 = 30, x_2 = -30$.

б) $(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 - 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть уравнения:

$(\frac{x}{2} - \frac{x}{4})^2 = 9$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{2x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{2x - x}{4} = \frac{x}{4}$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$(\frac{x}{4})^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{x}{4} = \pm\sqrt{9}$

$\frac{x}{4} = \pm 3$

Рассмотрим два возможных случая:

1) $\frac{x}{4} = 3 \implies x = 3 \cdot 4 = 12$

2) $\frac{x}{4} = -3 \implies x = -3 \cdot 4 = -12$

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -12$.

в) $4 - (x - \frac{x}{5})^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть, чтобы выделить его:

$4 = (x - \frac{x}{5})^2$

Упростим выражение в скобках:

$x - \frac{x}{5} = \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{5x - x}{5} = \frac{4x}{5}$

Подставим упрощенное выражение в уравнение:

$4 = (\frac{4x}{5})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{4} = \frac{4x}{5}$

$\pm 2 = \frac{4x}{5}$

Получаем два уравнения:

1) $\frac{4x}{5} = 2 \implies 4x = 10 \implies x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

2) $\frac{4x}{5} = -2 \implies 4x = -10 \implies x = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x_1 = 2.5, x_2 = -2.5$.

г) $1 - (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть:

$1 = (\frac{x}{3} - \frac{x}{5})^2$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = \frac{5x}{15} - \frac{3x}{15} = \frac{5x - 3x}{15} = \frac{2x}{15}$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$1 = (\frac{2x}{15})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\pm\sqrt{1} = \frac{2x}{15}$

$\pm 1 = \frac{2x}{15}$

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{2x}{15} = 1 \implies 2x = 15 \implies x = \frac{15}{2} = 7.5$

2) $\frac{2x}{15} = -1 \implies 2x = -15 \implies x = -\frac{15}{2} = -7.5$

Ответ: $x_1 = 7.5, x_2 = -7.5$.