Номер 5, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 5, страница 250.

5 Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

В виде формулы это записывается так:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Доказательство формулы

Для доказательства тождества необходимо раскрыть скобки в правой части формулы и убедиться, что она равна левой части. Возьмем правую часть $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и выполним умножение многочлена на многочлен:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = $

$= a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразований мы получили левую часть исходной формулы. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство завершено, так как правая часть формулы тождественно равна левой: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Применение формулы на примере выражения $8 - 27y^3$

Чтобы разложить на множители выражение $8 - 27y^3$, необходимо представить его в виде разности кубов, то есть в форме $a^3 - b^3$.

1. Определим, что является $a$ и $b$.
Первый член выражения — это $8$. Мы можем представить его как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$. Следовательно, $a = 2$.
Второй член выражения — это $27y^3$. Мы можем представить его как куб выражения $3y$, то есть $27y^3 = (3y)^3$. Следовательно, $b = 3y$.

2. Теперь, когда мы нашли $a=2$ и $b=3y$, подставим их в формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$8 - 27y^3 = (2)^3 - (3y)^3 = (2 - 3y)(2^2 + 2 \cdot (3y) + (3y)^2)$

3. Упростим выражение во второй скобке, выполнив все операции:

$(2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя.

Ответ: $8 - 27y^3 = (2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$