Номер 1, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 1, страница 250.

1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители. Часто для полного разложения требуется применить комбинацию этих методов.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ основан на распределительном свойстве умножения $ac + bc = c(a + b)$. Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки. Это, как правило, первый шаг, который стоит попробовать сделать.

Пример: Разложить на множители многочлен $15x^3y^2 + 10x^2y^3$.

Решение:
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 10. Это 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^2$.
3. Общий множитель равен $5x^2y^2$.
4. Выносим его за скобки: $15x^3y^2 + 10x^2y^3 = 5x^2y^2 \cdot (3x) + 5x^2y^2 \cdot (2y) = 5x^2y^2(3x + 2y)$.

Ответ: $5x^2y^2(3x + 2y)$

2. Использование формул сокращенного умножения

Этот метод заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул сокращенного умножения.

Основные формулы:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример 1: Разложить $25a^2 - 16$.

Решение:
Представим многочлен в виде разности квадратов: $25a^2 - 16 = (5a)^2 - 4^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5a$ и $b = 4$.
$(5a - 4)(5a + 4)$.

Пример 2: Разложить $x^2 + 12x + 36$.

Решение:
Это выражение похоже на формулу квадрата суммы. $x^2$ - это квадрат $x$, $36$ - это квадрат $6$. Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$.
Значит, $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$.

Ответ: для примера 1 - $(5a - 4)(5a + 4)$; для примера 2 - $(x + 6)^2$.

3. Способ группировки

Этот способ применяется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена группируются таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп (обычно в виде скобки).

Пример: Разложить на множители $xy - 6 + 3x - 2y$.

Решение:
1. Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$.
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$.
3. Теперь общим множителем является скобка $(y + 3)$. Вынесем ее: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$

4. Разложение квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 14x - 5$.

Решение:
1. Найдем корни уравнения $3x^2 - 14x - 5 = 0$.
2. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.
3. Корни: $x_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$; $x_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
4. Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$: $3(x - 5)(x - (-\frac{1}{3})) = 3(x - 5)(x + \frac{1}{3})$.
5. Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 3 на вторую скобку: $(x - 5)(3x + 1)$.

Ответ: $(x - 5)(3x + 1)$

5. Комбинация различных способов

На практике часто приходится использовать несколько способов последовательно. Рекомендуемый порядок действий: сначала проверить возможность вынесения общего множителя, затем поискать формулы сокращенного умножения, а после этого пробовать другие методы.

Пример: Разложить на множители $5a^3 - 5b^3$.

Решение:
1. (Вынесение общего множителя) Выносим 5 за скобки: $5(a^3 - b^3)$.
2. (Формула сокращенного умножения) Выражение в скобках является разностью кубов. Применяем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
3. Получаем: $5(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Ответ: $5(a - b)(a^2 + ab + b^2)$