Номер 932, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 932, страница 249.

932 Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$;

б) $\frac{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}{x^2 - y^2 + z^2 + 2xz}$.

а) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$

Для того чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим на множители числитель $a^3 - a^2 - a + 1$. Сгруппируем слагаемые:

$(a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a - 1) - 1(a - 1) = (a - 1)(a^2 - 1)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к выражению $a^2 - 1$:

$(a - 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)^2(a + 1)$

Теперь разложим на множители знаменатель $a^4 - 2a^2 + 1$. Это выражение является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a^2$ и $y=1$:

$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$

Применив снова формулу разности квадратов, получим:

$(a^2 - 1)^2 = ((a - 1)(a + 1))^2 = (a - 1)^2(a + 1)^2$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a - 1)^2(a + 1)}{(a - 1)^2(a + 1)^2}$

Сократим общие множители $(a - 1)^2$ и $(a + 1)$:

$\frac{\cancel{(a - 1)^2}\cancel{(a + 1)}}{\cancel{(a - 1)^2}(a + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a + 1}$

Ответ: $\frac{1}{a + 1}$

б) $\frac{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}{x^2 - y^2 + z^2 + 2xz}$

Для сокращения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + y^2 - z^2 + 2xy$. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = (x + y)^2 - z^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + y - z)(x + y + z)$

Разложим знаменатель $x^2 - y^2 + z^2 + 2xz$. Также сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(x^2 + 2xz + z^2) - y^2 = (x + z)^2 - y^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(x + z - y)(x + z + y) = (x - y + z)(x + y + z)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(x + y - z)(x + y + z)}{(x - y + z)(x + y + z)}$

Сократим общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{(x + y - z)\cancel{(x + y + z)}}{(x - y + z)\cancel{(x + y + z)}} = \frac{x + y - z}{x - y + z}$

Ответ: $\frac{x + y - z}{x - y + z}$