Номер 928, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 928, страница 248.

928 Представьте выражение в виде многочлена, используя формулу разности квадратов:

а) $(m - n)(m + n)(m^2 + n^2);$

б) $(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)x^2;$

в) $((2c + d)^2 - (c + 2d)^2) \cdot 3cd;$

г) $((a^2 + a)^2 - (a^2 - a)^2) \cdot 5a^2.$

а) $(m - n)(m + n)(m^2 + n^2)$

Для решения этого примера мы последовательно применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1. Сначала применим формулу к первым двум множителям $(m - n)(m + n)$. В данном случае $a = m$ и $b = n$.

$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.

2. Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$.

3. Мы снова видим выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов. На этот раз $a = m^2$ и $b = n^2$.

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^4 - n^4$.

Ответ: $m^4 - n^4$.

б) $(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)x^2$

1. Начнем с применения формулы разности квадратов к первым двум сомножителям $(x + 1)(x - 1)$. Здесь $a=x$ и $b=1$.

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)x^2$.

3. Снова применим формулу разности квадратов для $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$, где $a = x^2$ и $b = 1$.

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

4. Выражение упростилось до $(x^4 - 1)x^2$.

5. На последнем шаге раскроем скобки, умножив многочлен $(x^4 - 1)$ на одночлен $x^2$.

$(x^4 - 1)x^2 = x^4 \cdot x^2 - 1 \cdot x^2 = x^6 - x^2$.

Ответ: $x^6 - x^2$.

в) $((2c + d)^2 - (c + 2d)^2) \cdot 3cd$

1. Выражение в больших скобках представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (2c + d)$ и $b = (c + 2d)$.

2. Найдем разность $(a-b)$ и сумму $(a+b)$:

$a - b = (2c + d) - (c + 2d) = 2c + d - c - 2d = c - d$.

$a + b = (2c + d) + (c + 2d) = 2c + d + c + 2d = 3c + 3d = 3(c+d)$.

3. Таким образом, $(2c + d)^2 - (c + 2d)^2 = (c - d) \cdot 3(c + d) = 3(c - d)(c + d)$.

4. Подставим это в исходное выражение:

$3(c - d)(c + d) \cdot 3cd = 9cd(c - d)(c + d)$.

5. Ещё раз применим формулу разности квадратов к $(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.

$9cd(c^2 - d^2)$.

6. Раскроем скобки, чтобы получить итоговый многочлен:

$9cd \cdot c^2 - 9cd \cdot d^2 = 9c^3d - 9cd^3$.

Ответ: $9c^3d - 9cd^3$.

г) $((a^2 + a)^2 - (a^2 - a)^2) \cdot 5a^2$

1. Выражение в скобках является разностью квадратов. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (a^2 + a)$ и $B = (a^2 - a)$.

2. Вычислим разность $(A - B)$ и сумму $(A + B)$:

$A - B = (a^2 + a) - (a^2 - a) = a^2 + a - a^2 + a = 2a$.

$A + B = (a^2 + a) + (a^2 - a) = a^2 + a + a^2 - a = 2a^2$.

3. Перемножим полученные выражения: $(A - B)(A + B) = (2a)(2a^2) = 4a^3$.

4. Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(4a^3) \cdot 5a^2$.

5. Выполним умножение одночленов:

$4a^3 \cdot 5a^2 = (4 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 20a^{3+2} = 20a^5$.

Ответ: $20a^5$.