Страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Найдите корни уравнения (907–908).

907 a) $(x^2 + 3)(x - 7) = 0;$

б) $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0;$

В) $(z - 1)^2(z + 4) = 0;$

Г) $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0.$

Для решения данных уравнений используется свойство произведения, равного нулю: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Дано уравнение $(x^2 + 3)(x - 7) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x^2 + 3 = 0$
2) $x - 7 = 0$
Решим первое уравнение: $x^2 + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $x^2 = -3$.
В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Решим второе уравнение: $x - 7 = 0$. Перенесем -7 в правую часть: $x = 7$.
Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=7$.
Ответ: 7.

Дано уравнение $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $3y - 1 = 0$
2) $y^2 + 1 = 0$
Решим первое уравнение: $3y - 1 = 0$. Перенесем -1 в правую часть: $3y = 1$.
Разделим обе части на 3: $y = \frac{1}{3}$.
Решим второе уравнение: $y^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $y^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$).
Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $y = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Дано уравнение $(z - 1)^2(z + 4) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $(z - 1)^2 = 0$
2) $z + 4 = 0$
Решим первое уравнение: $(z - 1)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $z - 1 = 0$.
Перенесем -1 в правую часть: $z = 1$.
Решим второе уравнение: $z + 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $z = -4$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 1; -4.

Дано уравнение $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $3t + 12 = 0$
2) $(t + 2)^2 = 0$
Решим первое уравнение: $3t + 12 = 0$. Перенесем 12 в правую часть: $3t = -12$.
Разделим обе части на 3: $t = \frac{-12}{3} = -4$.
Решим второе уравнение: $(t + 2)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $t + 2 = 0$.
Перенесем 2 в правую часть: $t = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: -4; -2.

908 a) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0;$

В) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0;$

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0;$

Г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0.$

а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0$

Для решения данного уравнения разложим выражение $(x^2 - 1)$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(3x + (x + 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(3x + x + 1) = 0$

$(x - 1)(4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -1/4$ или $x_2 = -0.25$

Ответ: $x_1 = 1; x_2 = -0.25$

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0$

Заметим, что $(1 - y)^2 = (-(y - 1))^2 = (y - 1)^2$. Сделаем замену в уравнении:

$2(y - 1) - (y - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(2 - (y - 1)) = 0$

Раскроем скобки во втором множителе и упростим:

$(y - 1)(2 - y + 1) = 0$

$(y - 1)(3 - y) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

$3 - y = 0 \implies y_2 = 3$

Ответ: $y_1 = 1; y_2 = 3$

в) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0$

Разложим выражение $(x^2 - 4)$ на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим разложение в исходное уравнение:

$3(x - 2) + (x - 2)(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(3 + (x + 2)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2)(3 + x + 2) = 0$

$(x - 2)(x + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Ответ: $x_1 = 2; x_2 = -5$

г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0$

Преобразуем выражение $(3 - y)$, вынеся знак минус за скобку: $3 - y = -(y - 3)$.

Подставим это в уравнение:

$(y - 3)^2 - 4(-(y - 3)) = 0$

$(y - 3)^2 + 4(y - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 3)$ за скобки:

$(y - 3)((y - 3) + 4) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(y - 3)(y - 3 + 4) = 0$

$(y - 3)(y + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$y - 3 = 0 \implies y_1 = 3$

$y + 1 = 0 \implies y_2 = -1$

Ответ: $y_1 = 3; y_2 = -1$

909 Решите уравнение:

а) $(x + 1)^2 - 4 = 0$;

б) $(x + 2)^2 - 9 = 0$;

в) $1 - (x - 3)^2 = 0$;

г) $25 - (10 - x)^2 = 0$.

а) Исходное уравнение: $(x + 1)^2 - 4 = 0$.
Представим левую часть уравнения в виде разности квадратов, зная, что $4 = 2^2$:
$(x + 1)^2 - 2^2 = 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 1$ и $b = 2$:
$((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
Ответ: $-3; 1$.

б) Исходное уравнение: $(x + 2)^2 - 9 = 0$.
Представим левую часть в виде разности квадратов, так как $9 = 3^2$:
$(x + 2)^2 - 3^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов, где $a = x + 2$ и $b = 3$:
$((x + 2) - 3)((x + 2) + 3) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 5) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$
Ответ: $-5; 1$.

в) Исходное уравнение: $1 - (x - 3)^2 = 0$.
Представим левую часть в виде разности квадратов, так как $1 = 1^2$:
$1^2 - (x - 3)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = x - 3$:
$(1 - (x - 3))(1 + (x - 3)) = 0$
Раскроем внутренние скобки:
$(1 - x + 3)(1 + x - 3) = 0$
Упростим выражения:
$(4 - x)(x - 2) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$4 - x = 0 \implies x_1 = 4$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Ответ: $2; 4$.

г) Исходное уравнение: $25 - (10 - x)^2 = 0$.
Представим левую часть в виде разности квадратов, так как $25 = 5^2$:
$5^2 - (10 - x)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 5$ и $b = 10 - x$:
$(5 - (10 - x))(5 + (10 - x)) = 0$
Раскроем внутренние скобки:
$(5 - 10 + x)(5 + 10 - x) = 0$
Упростим выражения:
$(x - 5)(15 - x) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
$15 - x = 0 \implies x_2 = 15$
Ответ: $5; 15$.

910 Найдите корни уравнения (для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом, рассмотренным в упражнении 896):

а) $x^2 + 4x + 3;$

б) $x^2 + 2x - 8;$

в) $x^2 - 2x - 3;$

г) $x^2 - 10x + 16.$

а) $x^2 + 4x + 3 = 0$

Чтобы найти корни уравнения, разложим многочлен $x^2 + 4x + 3$ на множители, используя метод выделения полного квадрата, как указано в задании. Выражение $x^2 + 4x$ является частью полного квадрата вида $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. Сравнивая $4x$ с $2ax$, получаем $2a=4$, откуда $a=2$. Полный квадрат: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Теперь представим исходный многочлен, добавив и вычтя недостающее число (в данном случае 4), чтобы выделить полный квадрат: $x^2 + 4x + 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1$. Получили уравнение $(x+2)^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x+2$ и $B = 1$. $((x+2) - 1)((x+2) + 1) = 0$ $(x+1)(x+3) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x+1=0 \implies x_1 = -1$ $x+3=0 \implies x_2 = -3$.

Ответ: $-3; -1$.

б) $x^2 + 2x - 8 = 0$

Разложим многочлен $x^2 + 2x - 8$ на множители методом выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 2x$. $x^2 + 2x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1$. Для получения полного квадрата $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ необходимо добавить и вычесть 1. $x^2 + 2x - 8 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 8 = (x+1)^2 - 9$. Решим уравнение $(x+1)^2 - 9 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x+1$ и $B = 3$: $(x+1)^2 - 3^2 = 0$ $((x+1) - 3)((x+1) + 3) = 0$ $(x-2)(x+4) = 0$. Корни уравнения: $x-2=0 \implies x_1 = 2$ $x+4=0 \implies x_2 = -4$.

Ответ: $-4; 2$.

в) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Разложим многочлен $x^2 - 2x - 3$ на множители, выделив полный квадрат. Выделим полный квадрат из $x^2 - 2x$. $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$. Для полного квадрата $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ необходимо добавить и вычесть 1. $x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$. Решим уравнение $(x-1)^2 - 4 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x-1$ и $B = 2$: $(x-1)^2 - 2^2 = 0$ $((x-1) - 2)((x-1) + 2) = 0$ $(x-3)(x+1) = 0$. Корни уравнения: $x-3=0 \implies x_1 = 3$ $x+1=0 \implies x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 3$.

г) $x^2 - 10x + 16 = 0$

Разложим многочлен $x^2 - 10x + 16$ на множители методом выделения полного квадрата. Выделим полный квадрат из $x^2 - 10x$. $x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Для полного квадрата $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$ необходимо добавить и вычесть 25. $x^2 - 10x + 16 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 16 = (x-5)^2 - 9$. Решим уравнение $(x-5)^2 - 9 = 0$. Используем формулу разности квадратов, где $A = x-5$ и $B = 3$: $(x-5)^2 - 3^2 = 0$ $((x-5) - 3)((x-5) + 3) = 0$ $(x-8)(x-2) = 0$. Корни уравнения: $x-8=0 \implies x_1 = 8$ $x-2=0 \implies x_2 = 2$.

Ответ: $2; 8$.

911 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Решим уравнение

$(\frac{3}{x} - \frac{1}{4})(\frac{1}{x} + \frac{2}{3}) = 0:$

$\frac{3}{x} - \frac{1}{4} = 0$ или $\frac{1}{x} + \frac{2}{3} = 0$

$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$ или $\frac{1}{x} = -\frac{2}{3}$

$x = 3 \cdot 4$ или $2x = -3$

$x = 12$ или $x = -1,5$

Ответ: 12; -1,5.

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

а) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0;$

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0;$

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0;$

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0.$

а) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть $x \ne 0$.

Разобьем уравнение на два:

1) $\frac{1}{x} - \frac{2}{7} = 0$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{7}$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2} = 3,5$

2) $\frac{5}{8} - \frac{1}{x} = 0$

$\frac{5}{8} = \frac{1}{x}$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5} = 1,6$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$.
Ответ: 3,5; 1,6.

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Область допустимых значений: $x \ne 0$.

Разобьем уравнение на два:

1) $\frac{3}{4} + \frac{2}{x} = 0$

$\frac{2}{x} = -\frac{3}{4}$

$3x = 2 \cdot (-4)$

$3x = -8$

$x = -\frac{8}{3}$

2) $\frac{4}{3} - \frac{4}{x} = 0$

$\frac{4}{3} = \frac{4}{x}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$x = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$.
Ответ: $-\frac{8}{3}$; 3.

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Область допустимых значений: $x \ne 0$.

Разобьем уравнение на два:

1) $\frac{5}{x} + 3 = 0$

$\frac{5}{x} = -3$

$-3x = 5$

$x = -\frac{5}{3}$

2) $\frac{2}{x} + 2 = 0$

$\frac{2}{x} = -2$

$-2x = 2$

$x = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$; -1.

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Область допустимых значений: $2x \ne 0$ и $3x \ne 0$, следовательно $x \ne 0$.

Разобьем уравнение на два:

1) $\frac{3}{2x} - \frac{1}{6} = 0$

$\frac{3}{2x} = \frac{1}{6}$

$2x \cdot 1 = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x = 9$

2) $\frac{2}{3x} - \frac{2}{9} = 0$

$\frac{2}{3x} = \frac{2}{9}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$3x = 9$

$x = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ne 0$.
Ответ: 9; 3.

912 Решите уравнение относительно $x$:

a) $x^2 - m^2 = 0;$

б) $a^2 - x^2 = 0;$

в) $(x+4-a)(x+4+a) = 0;$

г) $25 - (x-b)^2 = 0.$

а) $x^2 - m^2 = 0$

Данное уравнение является разностью квадратов. Для его решения воспользуемся формулой $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A=x$ и $B=m$.

Разложим левую часть уравнения на множители:

$(x - m)(x + m) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы имеем два возможных случая:

1) $x - m = 0$, из чего следует, что $x = m$.

2) $x + m = 0$, из чего следует, что $x = -m$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = m, x_2 = -m$.

б) $a^2 - x^2 = 0$

Это уравнение также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=a$ и $B=x$.

$(a - x)(a + x) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

1) $a - x = 0$, откуда получаем $x = a$.

2) $a + x = 0$, откуда получаем $x = -a$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -a$.

в) $(x + 4 - a)(x + 4 + a) = 0$

Уравнение представлено в виде произведения двух скобок. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Первый множитель равен нулю:

$x + 4 - a = 0$

Выразим $x$:

$x = a - 4$

2) Второй множитель равен нулю:

$x + 4 + a = 0$

Выразим $x$:

$x = -a - 4$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $x_1 = a - 4, x_2 = -a - 4$.

г) $25 - (x - b)^2 = 0$

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов. Представим $25$ как $5^2$.

$5^2 - (x - b)^2 = 0$

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5$ и $B = (x - b)$.

$(5 - (x - b))(5 + (x - b)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(5 - x + b)(5 + x - b) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $5 - x + b = 0$

Выразим $x$:

$x = 5 + b$

2) $5 + x - b = 0$

Выразим $x$:

$x = b - 5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = b + 5, x_2 = b - 5$.