Страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8 Какое из выражений нельзя разложить на множители, используя формулу разности квадратов?

1) $8x^2 - y^2$

2) $0,01a^2 - b^2$

3) $9c^4 - 16$

4) $25m^2 - 81n^2$

Вопрос заключается в том, какое из предложенных выражений нельзя разложить на множители с помощью формулы разности квадратов.

Формула разности квадратов выглядит следующим образом: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Чтобы применить эту формулу, необходимо, чтобы и уменьшаемое (первый член), и вычитаемое (второй член) были полными квадратами. Это означает, что из каждого члена можно извлечь точный квадратный корень (в рамках рациональных чисел). Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $8x^2 - y^2$

В этом выражении второй член $y^2$ является квадратом переменной $y$. Однако первый член $8x^2$ не является полным квадратом, так как коэффициент 8 не является квадратом какого-либо рационального числа (квадратный корень из 8, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, является иррациональным числом). Поскольку один из членов выражения не является полным квадратом, всё выражение нельзя разложить на множители по формуле разности квадратов (с рациональными коэффициентами).

2) $0.01a^2 - b^2$

Здесь первый член $0.01a^2$ можно представить как $(0.1a)^2$, поскольку $(0.1)^2 = 0.01$. Второй член $b^2$ является квадратом $b$. Оба члена являются полными квадратами. Следовательно, это выражение можно разложить на множители: $0.01a^2 - b^2 = (0.1a)^2 - (b)^2 = (0.1a - b)(0.1a + b)$.

3) $9c^4 - 16$

Первый член $9c^4$ можно представить как $(3c^2)^2$, так как $3^2=9$ и $(c^2)^2=c^4$. Второй член $16$ является квадратом числа $4$, то есть $16=4^2$. Оба члена являются полными квадратами, поэтому выражение раскладывается на множители: $9c^4 - 16 = (3c^2)^2 - (4)^2 = (3c^2 - 4)(3c^2 + 4)$.

4) $25m^2 - 81n^2$

Первый член $25m^2$ можно представить как $(5m)^2$, поскольку $5^2 = 25$. Второй член $81n^2$ можно представить как $(9n)^2$, поскольку $9^2=81$. Оба члена являются полными квадратами, поэтому выражение раскладывается на множители: $25m^2 - 81n^2 = (5m)^2 - (9n)^2 = (5m - 9n)(5m + 9n)$.

Таким образом, единственное выражение из списка, которое нельзя разложить на множители по формуле разности квадратов, — это первое выражение.

Ответ: 1) $8x^2 - y^2$

9 Разложите на множители $0.25x^2y^2 - z^2$.

Данное выражение представляет собой разность двух квадратов. Для его разложения на множители мы будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Определим, квадратами каких выражений являются члены нашего многочлена $0,25x^2y^2 - z^2$.

Первый член: $0,25x^2y^2$. Поскольку $0,25 = 0,5^2$, то мы можем записать:
$0,25x^2y^2 = (0,5)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = (0,5xy)^2$.
Таким образом, в нашей формуле $a = 0,5xy$.

Второй член: $z^2$. Он уже является квадратом переменной $z$.
Таким образом, в нашей формуле $b = z$.

2. Теперь подставим полученные значения $a$ и $b$ в формулу разности квадратов:
$0,25x^2y^2 - z^2 = (0,5xy)^2 - (z)^2 = (0,5xy - z)(0,5xy + z)$.

Ответ: $(0,5xy - z)(0,5xy + z)$.

10 Сократите дробь $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1}$.

1) $\frac{1}{2a+1}$

2) $\frac{2a-1}{2a+1}$

3) $\frac{1}{4a+1}$

4) $\frac{4a-1}{4a+1}$

Для того чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель, а затем сократить общие множители.

Разложение числителя на множители

Числитель дроби $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$ и $y^2 = 1^2$. Значит, $x = 2a$ и $y = 1$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.

Таким образом, числитель можно представить в виде:

$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.

Разложение знаменателя на множители

Знаменатель дроби $4a^2 - 1$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$ и $y^2 = 1^2$. Значит, $x = 2a$ и $y = 1$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде:

$4a^2 - 1 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Сокращение дроби

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1} = \frac{(2a - 1)^2}{(2a - 1)(2a + 1)}$

Теперь сократим общий множитель $(2a - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2a - 1 \neq 0$):

$\frac{(2a-1) \cdot (2a-1)}{(2a-1) \cdot (2a+1)} = \frac{2a-1}{2a+1}$

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{2a-1}{2a+1}$

11 Упростите выражение $(c-2)(c+2)-(c-1)^2$.

1) $2c-5$
2) $-2c-3$
3) $-3$
4) $-1$

11)

Для того чтобы упростить выражение $(c - 2)(c + 2) - (c - 1)^2$, необходимо применить формулы сокращенного умножения.

1. Сначала упростим первую часть выражения, $(c - 2)(c + 2)$, используя формулу разности квадратов: $(a - b)(a + 2) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = c$ и $b = 2$, поэтому получаем:

$(c - 2)(c + 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$

2. Затем упростим вторую часть выражения, $(c - 1)^2$, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = c$ и $b = 1$, поэтому получаем:

$(c - 1)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 1 + 1^2 = c^2 - 2c + 1$

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(c^2 - 4) - (c^2 - 2c + 1)$

4. Раскроем скобки. Знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$c^2 - 4 - c^2 + 2c - 1$

5. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $c^2$ и $-c^2$ взаимно уничтожаются, а константы складываются:

$(c^2 - c^2) + 2c + (-4 - 1) = 0 + 2c - 5 = 2c - 5$

Полученный результат $2c - 5$ соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $2c - 5$

12 Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов?

1) $9x^3 + 27a^3$

2) $9x^3 - 27a^3$

3) $8x^3 + 27a^3$

4) $8x^3 - 27a^3$

Для того чтобы разложить двучлен на множители, используя формулу суммы кубов, этот двучлен должен представлять собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является кубом некоторого выражения. Формула суммы кубов имеет вид: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $9x^3 + 27a^3$
Это выражение является суммой. Второе слагаемое $27a^3$ является кубом выражения $3a$, так как $(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$. Однако первое слагаемое $9x^3$ не является кубом, поскольку коэффициент $9$ не является кубом целого числа ($2^3=8$, $3^3=27$). Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $9x^3 - 27a^3$
Это выражение является разностью, а не суммой. Для его разложения требуется формула разности кубов, а не суммы кубов. Поэтому этот вариант не подходит.

3) $8x^3 + 27a^3$
Это выражение является суммой. Проверим, являются ли оба слагаемых кубами.
Первое слагаемое: $8x^3 = 2^3 \cdot x^3 = (2x)^3$.
Второе слагаемое: $27a^3 = 3^3 \cdot a^3 = (3a)^3$.
Оба слагаемых являются кубами. Таким образом, мы имеем сумму кубов $(2x)^3 + (3a)^3$, которую можно разложить на множители по соответствующей формуле. Этот вариант подходит.

4) $8x^3 - 27a^3$
Это выражение является разностью, а не суммой. Хотя оба слагаемых являются кубами, для разложения на множители требуется формула разности кубов. Следовательно, этот вариант не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственным двучленом, который можно разложить на множители по формуле суммы кубов, является $8x^3 + 27a^3$.

Ответ: 3

13 Закончите разложение на множители: $64m^3 - 1 = (4m - 1)(...)$.

1) $m^2 + m + 1$

2) $16m^2 + 8m + 1$

3) $16m^2 + 4m + 1$

4) $16m^2 - 4m + 1$

Чтобы закончить разложение на множители выражения $64m^3 - 1$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для разности кубов. Формула выглядит следующим образом:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

В нашем выражении $64m^3 - 1$ мы можем определить $a$ и $b$:
$a^3 = 64m^3 = (4m)^3$, следовательно, $a = 4m$.
$b^3 = 1 = 1^3$, следовательно, $b = 1$.

Теперь подставим эти значения в формулу разности кубов. Первый множитель нам уже дан в условии: $(4m - 1)$. Нам нужно найти второй множитель, который соответствует части формулы $(a^2 + ab + b^2)$.

Вычислим второй множитель, подставляя $a = 4m$ и $b = 1$:
$a^2 + ab + b^2 = (4m)^2 + (4m)(1) + 1^2 = 16m^2 + 4m + 1$

Таким образом, полное разложение на множители имеет вид:
$64m^3 - 1 = (4m - 1)(16m^2 + 4m + 1)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $16m^2 + 4m + 1$

14 Разложите на множители $y^4 - 81$.

Для разложения на множители выражения $y^4 - 81$ мы будем использовать формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности двух квадратов. Заметим, что $y^4$ можно записать как $(y^2)^2$, а число 81 является квадратом числа 9, то есть $81 = 9^2$.

Таким образом, получаем:

$y^4 - 81 = (y^2)^2 - 9^2$

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = y^2$ и $b = 9$:

$(y^2)^2 - 9^2 = (y^2 - 9)(y^2 + 9)$

Мы получили два множителя. Первый множитель, $(y^2 - 9)$, также является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Снова применим ту же формулу, где теперь $a = y$ и $b = 3$:

$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$

Второй множитель, $(y^2 + 9)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Соединив все полученные множители, мы получим окончательный вид разложения:

$y^4 - 81 = (y - 3)(y + 3)(y^2 + 9)$

Ответ: $(y - 3)(y + 3)(y^2 + 9)$

15 Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена $2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2$?

1) вынесение за скобки общего множителя

2) группировка

3) формула разности квадратов

4) формула квадрата разности

Для того чтобы определить, какой из способов не применяется при разложении многочлена $2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2$ на множители, проанализируем процесс разложения и проверим применимость каждого из предложенных способов.

Исходный многочлен: $P = 2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2$.

Наиболее полный процесс разложения, который позволяет проверить все методы, выглядит следующим образом, если не приводить подобные слагаемые на первом шаге:

1) вынесение за скобки общего множителя

Этот метод используется в процессе разложения. Во-первых, при группировке членов $P = (2a^2 - 2ab) + (-6a^2 + 6b^2)$ мы выносим общие множители из каждой группы: $2a(a-b) - 6(a^2-b^2)$. Во-вторых, после применения других методов, мы получаем выражение $2a(a-b) - 6(a-b)(a+b)$, из которого снова выносим общий множитель $2(a-b)$ за скобки. Таким образом, данный метод применяется.

2) группировка

Разложение можно начать с метода группировки, объединив члены многочлена в группы: $P = (2a^2 - 2ab) + (-6a^2 + 6b^2)$. Этот шаг позволяет в дальнейшем найти общие множители. Следовательно, метод группировки применяется.

3) формула разности квадратов

После первого шага группировки и вынесения множителей мы получаем выражение $2a(a-b) - 6(a^2-b^2)$. Для дальнейшего разложения необходимо применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к члену $(a^2-b^2)$, что дает $(a-b)(a+b)$. Таким образом, этот метод применяется.

4) формула квадрата разности

Формула квадрата разности имеет вид $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В процессе разложения исходного многочлена до вида $-2(a-b)(2a+3b)$ ни на одном из этапов не возникает структура, к которой можно было бы применить данную формулу. Таким образом, этот метод не применяется.

Ответ: 4) формула квадрата разности.

16 Какое из утверждений неверно?

1) если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю

2) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение равно нулю

3) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю, то произведение этих чисел не равно нулю

4) если произведение двух чисел не равно нулю, то ни одно из этих чисел не равно нулю

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них по отдельности. Пусть даны два числа $a$ и $b$.

Это утверждение является фундаментальным свойством умножения. Математически оно записывается так: если $a \cdot b = 0$, то $a = 0$ или $b = 0$. Если предположить, что оба числа не равны нулю ($a \neq 0$ и $b \neq 0$), то их произведение также не может быть равно нулю. Это доказывает, что для равенства произведения нулю необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был нулем. Таким образом, это утверждение верно.

Это утверждение также верно, так как является свойством умножения на ноль. Если хотя бы один из множителей равен нулю (например, $a=0$), то и всё произведение равно нулю ($a \cdot b = 0 \cdot b = 0$).

Это утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Возьмем числа $a = 5$ и $b = 0$. Условие «хотя бы одно из двух чисел не равно нулю» выполняется, так как $5 \neq 0$. Теперь вычислим их произведение: $a \cdot b = 5 \cdot 0 = 0$. Полученный результат равен нулю, что противоречит заключению утверждения («произведение этих чисел не равно нулю»).

Это утверждение верно. Оно является контрапозицией (логически эквивалентным) утверждению (1). Если бы хотя бы одно из чисел было равно нулю, то их произведение, согласно утверждению (2), было бы равно нулю. Но по условию $a \cdot b \neq 0$. Следовательно, ни $a$, ни $b$ не могут быть равны нулю.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенных является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

17 Решите уравнение $(x - 2)(2x + 6) = 0$.

1) $x = 2$

2) $x = -3$

3) $x = 2, x = -3$

4) $x = -2, x = 3$

Дано уравнение: $(x - 2)(2x + 6) = 0$.

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем решить два независимых уравнения, приравняв каждый из множителей к нулю.

1. Приравниваем к нулю первый множитель:
$x - 2 = 0$
Переносим $-2$ в правую часть уравнения, меняя знак:
$x_1 = 2$

2. Приравниваем к нулю второй множитель:
$2x + 6 = 0$
Переносим $6$ в правую часть уравнения, меняя знак:
$2x = -6$
Делим обе части уравнения на $2$, чтобы найти $x$:
$x_2 = \frac{-6}{2}$
$x_2 = -3$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $2$ и $-3$.

Ответ: $x = 2, x = -3$

18 Найдите корни уравнения $x^3 - 9x = 0$.

Для решения уравнения $x^3 - 9x = 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых равенство будет верным.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 9 = 0$

Из первого уравнения получаем первый корень: $x_1 = 0$.

Теперь решим второе уравнение: $x^2 - 9 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем константу в правую часть:
$x^2 = 9$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня (положительный и отрицательный):
$x = \pm\sqrt{9}$
Отсюда получаем еще два корня:
$x_2 = 3$
$x_3 = -3$

Таким образом, данное уравнение имеет три корня.

Ответ: -3, 0, 3.