Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

942 ДЕЙСТВУЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ Являются ли равновероятными события:

а) вылет самолёта по расписанию и задержка рейса;

б) штатная посадка и аварийная посадка самолёта;

в) выпадание одного очка и шести очков при бросании кубика;

г) вынимание из колоды карт туза и вынимание шестёрки;

д) попадание и промах при стрельбе по мишени;

е) выпадение снега и выпадение дождя 1 января в том регионе, где вы живёте?

а) Равновероятными событиями называются события, имеющие одинаковую вероятность наступления. Вылет самолёта по расписанию является штатной ситуацией, к которой стремятся все авиакомпании. Задержка рейса — это отклонение от нормы. Статистически, количество вылетов по расписанию значительно превышает количество задержанных рейсов. Следовательно, вероятность вылета по расписанию намного выше вероятности задержки.
Ответ: нет, эти события не являются равновероятными.

б) Штатная посадка — это стандартное завершение любого полёта. Аварийная посадка — это чрезвычайное, очень редкое событие, вызванное серьёзными неисправностями или другими форс-мажорными обстоятельствами. Вероятность штатной посадки близка к 1, в то время как вероятность аварийной посадки крайне мала.
Ответ: нет, эти события не являются равновероятными.

в) Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При условии, что кубик является "честным" (т.е. симметричным и однородным), вероятность выпадения любой конкретной грани одинакова. Общее число равновозможных исходов — 6. Вероятность выпадения одного очка равна $1/6$. Вероятность выпадения шести очков также равна $1/6$. Так как $1/6 = 1/6$, события равновероятны.
Ответ: да, эти события являются равновероятными.

г) В стандартной игральной колоде 52 карты. В ней содержится 4 туза (по одному каждой масти) и 4 шестёрки (также по одной каждой масти). Вероятность вынуть случайным образом туза из колоды равна $P(\text{туз}) = 4/52 = 1/13$. Вероятность вынуть шестёрку равна $P(\text{шестёрка}) = 4/52 = 1/13$. Поскольку вероятности равны, события являются равновероятными. (Это верно и для колоды из 36 карт, где также 4 туза и 4 шестёрки, и вероятности равны $4/36 = 1/9$).
Ответ: да, эти события являются равновероятными.

д) Вероятность попадания и промаха зависит от множества факторов, главным из которых является мастерство стрелка. У опытного снайпера вероятность попадания будет очень высокой, а вероятность промаха — низкой. У новичка, наоборот, вероятность промаха может быть выше вероятности попадания. Эти события будут равновероятными только для стрелка такого уровня, который попадает в цель ровно в 50% случаев, что является частным случаем, а не общим правилом.
Ответ: нет, в общем случае эти события не являются равновероятными.

е) Ответ на этот вопрос зависит от климата конкретного региона. Например, для большинства регионов России (Москва, Санкт-Петербург, Сибирь) 1 января — это середина зимы. Температура воздуха почти всегда ниже 0°C. Поэтому вероятность выпадения снега значительно выше вероятности выпадения дождя (для которого нужна положительная температура). В южных регионах (например, Сочи) дождь может быть более вероятен, чем снег, но и там их вероятности вряд ли будут строго одинаковыми. Таким образом, эти события почти никогда не бывают равновероятными.
Ответ: нет, эти события не являются равновероятными.

943 Антон, Борис и Вадим учатся в классах 7А, 7Б, 7В соответственно. От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный комитет. У кого из друзей больше шансов стать делегатом, если в 7А учатся 25 человек, в 7Б — 22 человека, в 7В — 28 человек?

Чтобы определить, у кого из друзей больше шансов стать делегатом, необходимо вычислить вероятность этого события для каждого ученика. Вероятность быть выбранным по жребию вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $m$ — количество благоприятных исходов, а $n$ — общее количество всех равновозможных исходов.

В нашем случае для каждого друга есть только один благоприятный исход ($m=1$) — когда выбирают именно его. Общее количество исходов ($n$) равно числу учеников в соответствующем классе.

Шансы Антона (7А класс)

Антон учится в 7А классе, где всего 25 учеников. Вероятность того, что делегатом выберут Антона, составляет:

$P_{Антон} = \frac{1}{25}$

Шансы Бориса (7Б класс)

Борис учится в 7Б классе, где 22 ученика. Вероятность того, что делегатом выберут Бориса, составляет:

$P_{Борис} = \frac{1}{22}$

Шансы Вадима (7В класс)

Вадим учится в 7В классе, где 28 учеников. Вероятность того, что делегатом выберут Вадима, составляет:

$P_{Вадим} = \frac{1}{28}$

Сравнение шансов

Теперь нам нужно сравнить полученные дроби: $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{22}$ и $\frac{1}{28}$.

При сравнении дробей с одинаковым числителем большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

$22 < 25 < 28$

Следовательно, соотношение вероятностей будет обратным:

$\frac{1}{22} > \frac{1}{25} > \frac{1}{28}$

Это означает, что наибольшая вероятность быть избранным у Бориса, так как он учится в самом маленьком по численности классе.

Ответ: больше всего шансов стать делегатом у Бориса.

944 В пяти коробках лежат чёрные и красные шары, одинаковые на ощупь (рис. 9.5). Из каждой коробки не глядя вынимают один шар. Перечислите коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный шар.

Коробка A:

Чёрных шаров: 1, Красных шаров: 1. Всего шаров: 2.

Шанс вынуть чёрный шар: $ \frac{1}{2} $

Коробка B:

Чёрных шаров: 3, Красных шаров: 3. Всего шаров: 6.

Шанс вынуть чёрный шар: $ \frac{3}{6} $

Коробка C:

Чёрных шаров: 4, Красных шаров: 4. Всего шаров: 8.

Шанс вынуть чёрный шар: $ \frac{4}{8} $

Коробка D:

Чёрных шаров: 4, Красных шаров: 3. Всего шаров: 7.

Шанс вынуть чёрный шар: $ \frac{4}{7} $

Коробка E:

Чёрных шаров: 0, Красных шаров: 3. Всего шаров: 3.

Шанс вынуть чёрный шар: $ \frac{0}{3} $

Рис. 9.5

Для того чтобы перечислить коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный шар, необходимо для каждой коробки вычислить вероятность этого события. Вероятность события вычисляется как отношение количества благоприятных исходов (число чёрных шаров) к общему количеству всех возможных исходов (общее число всех шаров в коробке).

Для коробки A:

В коробке находится 1 чёрный шар и 2 красных шара (в условии они названы красными, на рисунке – голубые). Общее число шаров: $1 + 2 = 3$.
Вероятность вынуть чёрный шар: $P(A) = \frac{1}{3}$.

Для коробки B:

В коробке находится 3 чёрных шара и 4 красных шара. Общее число шаров: $3 + 4 = 7$.
Вероятность вынуть чёрный шар: $P(B) = \frac{3}{7}$.

Для коробки C:

В коробке находится 4 чёрных шара и 4 красных шара. Общее число шаров: $4 + 4 = 8$.
Вероятность вынуть чёрный шар: $P(C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Для коробки D:

В коробке находится 4 чёрных шара и 2 красных шара. Общее число шаров: $4 + 2 = 6$.
Вероятность вынуть чёрный шар: $P(D) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Для коробки E:

В коробке находятся 0 чёрных шаров и 3 красных шара. Общее число шаров: $0 + 3 = 3$.
Вероятность вынуть чёрный шар: $P(E) = \frac{0}{3} = 0$.

Теперь необходимо сравнить полученные вероятности и расположить их в порядке возрастания. Для этого можно привести дроби к общему знаменателю или представить их в виде десятичных дробей:

$P(E) = 0$

$P(A) = \frac{1}{3} \approx 0.333$

$P(B) = \frac{3}{7} \approx 0.429$

$P(C) = \frac{1}{2} = 0.5$

$P(D) = \frac{2}{3} \approx 0.667$

Сравнивая значения, получаем следующую последовательность неравенств:

$0 < \frac{1}{3} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

Это соответствует порядку вероятностей: $P(E) < P(A) < P(B) < P(C) < P(D)$.

Следовательно, коробки в порядке возрастания шансов вынуть чёрный шар должны быть расположены так: E, A, B, C, D.

Ответ: E, A, B, C, D.

945 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что события $A$ и $B$ являются противоположными?

а) $A$: вам никто не позвонит с 5 до 6 часов утра;

$B$: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра.

б) $A$: из колоды карт вынута карта красной масти;

$B$: из колоды карт вынута карта чёрной масти.

в) $A$: при бросании игрального кубика выпало одно очко;

$B$: при бросании игрального кубика выпало шесть очков.

Два события называются противоположными, если они являются несовместными (не могут произойти одновременно) и их объединение составляет всё множество возможных исходов (одно из них обязательно произойдет). Если событие A и событие B противоположны, то событие B происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

а) A: вам никто не позвонит с 5 до 6 часов утра; B: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 часов утра.

Рассмотрим два возможных исхода в промежуток времени с 5 до 6 утра: либо поступает хотя бы один звонок, либо не поступает ни одного.
1. Несовместность: События A и B не могут произойти одновременно. Невозможно, чтобы в одно и то же время вам и «никто не позвонил», и «кто-нибудь позвонил».
2. Полнота: Эти два события исчерпывают все возможные исходы. Нет никакой третьей возможности. Одно из этих событий обязательно произойдёт.
Поскольку оба условия выполняются, события A и B являются противоположными.
Ответ: верно.

б) A: из колоды карт вынута карта красной масти; B: из колоды карт вынута карта чёрной масти.

Будем исходить из того, что используется стандартная колода карт, в которой масти делятся на красные (черви, бубны) и чёрные (пики, трефы).
1. Несовместность: Карта не может быть одновременно и красной, и чёрной масти. Следовательно, события A и B несовместны.
2. Полнота: Любая карта в стандартной колоде имеет либо красную, либо чёрную масть. Других вариантов нет. Значит, при извлечении одной карты обязательно произойдет либо событие A, либо событие B.
Поскольку оба условия выполняются, события A и B являются противоположными.
Ответ: верно.

в) A: при бросании игрального кубика выпало одно очко; B: при бросании игрального кубика выпало шесть очков.

Множество всех возможных исходов при броске игрального кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Событие A — это исход {1}. Событие B — это исход {6}.
1. Несовместность: При одном броске кубика не может выпасть одновременно и 1, и 6. События несовместны.
2. Полнота: Объединение событий A и B дает множество исходов $\{1, 6\}$. Это множество не совпадает со всем множеством возможных исходов $\Omega$. Например, может выпасть 2, 3, 4 или 5 очков. В этом случае не произойдет ни событие A, ни событие B. Следовательно, эти события не исчерпывают все возможные исходы.
Поскольку второе условие не выполняется, события A и B не являются противоположными. Противоположным событию A («выпало одно очко») является событие $\bar{A}$ («выпало не одно очко», т.е. $\{2, 3, 4, 5, 6\}$).
Ответ: неверно.

946 АНАЛИЗИРУЕМ Назовите событие, противоположное данному событию:

а) при стрельбе по летающим тарелкам стрелок попал по мишени;

б) при бросании монеты выпал орёл;

в) куплен неисправный телевизор;

г) по результатам забега спортсмен вышел в финал;

д) при бросании кубика выпало три очка.

В каком из случаев эти два события равновероятны?

Противоположным событием для некоторого события $A$ называется событие $\bar{A}$ (не $A$), которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

а) Исходное событие: при стрельбе по летающим тарелкам стрелок попал по мишени.

Противоположное событие — это ситуация, когда исходное событие не произошло. Следовательно, противоположным событием будет промах стрелка.

Ответ: при стрельбе по летающим тарелкам стрелок не попал по мишени (промахнулся).

б) Исходное событие: при бросании монеты выпал орёл.

У стандартной монеты две стороны: орёл и решка. Если не выпал орёл, значит, выпала решка (мы пренебрегаем крайне маловероятным событием, что монета встанет на ребро).

Ответ: при бросании монеты выпала решка.

в) Исходное событие: куплен неисправный телевизор.

Противоположным событием является покупка телевизора, который не является неисправным, то есть исправного телевизора.

Ответ: куплен исправный телевизор.

г) Исходное событие: по результатам забега спортсмен вышел в финал.

Если спортсмен не вышел в финал, значит, он не прошел квалификацию или отбор по результатам забега.

Ответ: по результатам забега спортсмен не вышел в финал.

д) Исходное событие: при бросании кубика выпало три очка.

Стандартный игральный кубик имеет шесть граней с числами от 1 до 6. Если не выпало три очка, значит, выпало любое другое возможное количество очков.

Ответ: при бросании кубика выпало не три очка (то есть выпало 1, 2, 4, 5 или 6 очков).

В каком из случаев эти два события равновероятны?

Два противоположных события $A$ и $\bar{A}$ являются равновероятными, если их вероятности равны: $P(A) = P(\bar{A})$. Поскольку сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1 ($P(A) + P(\bar{A}) = 1$), то для равновероятных событий должно выполняться условие $P(A) = P(\bar{A}) = 0.5$.

Проанализируем каждый случай:

• а) Вероятность попадания по мишени зависит от мастерства стрелка и обычно не равна 0.5. Для опытного стрелка она будет высокой (близкой к 1), для новичка — низкой (близкой к 0). Следовательно, события не равновероятны.
• б) При бросании идеальной (симметричной) монеты существует два равновозможных исхода: орёл и решка. Вероятность выпадения орла равна $1/2$, и вероятность выпадения решки также равна $1/2$. События равновероятны.
• в) Вероятность купить неисправный телевизор обычно очень мала и точно не равна 0.5. Большинство телевизоров в продаже исправны. События не равновероятны.
• г) Вероятность выхода в финал зависит от количества участников, количества мест в финале и уровня подготовки спортсмена. Эта вероятность, как правило, не равна 0.5. События не равновероятны.
• д) При бросании игрального кубика 6 равновозможных исходов. Вероятность выпадения тройки равна $P(3) = 1/6$. Вероятность противоположного события (не выпала тройка) равна $P(\text{не } 3) = 1 - 1/6 = 5/6$. Поскольку $1/6 \neq 5/6$, события не равновероятны.

Таким образом, только в случае с бросанием монеты исходное и противоположное события являются равновероятными.

Ответ: в случае б).

947 В коробке красный, синий, белый и чёрный шары, одинаковые на ощупь. Из коробки вынимают наугад один шар. Назовите случаи, при которых произойдёт событие:

A: вынут красный или белый шар;

B: вынутый шар — не синий;

C: оставшиеся в коробке шары разных цветов.

Сравните шансы этих событий.

A: вынут красный или белый шар;
Событие А произойдет, если из коробки будет вынут красный шар или если будет вынут белый шар. Это два элементарных исхода из четырех возможных.
Ответ: случай, когда вынут красный шар, и случай, когда вынут белый шар.

B: вынутый шар — не синий;
В коробке находятся красный, синий, белый и черный шары. Событие B произойдет, если вынутый шар будет любого цвета, кроме синего. Такими случаями являются: вынут красный шар, вынут белый шар, вынут черный шар. Это три элементарных исхода из четырех.
Ответ: случай, когда вынут красный шар, случай, когда вынут белый шар, и случай, когда вынут черный шар.

C: оставшиеся в коробке шары разных цветов.
Изначально в коробке находятся четыре шара, и все они разных цветов (красный, синий, белый, черный). После того как из коробки вынут один шар, в ней останется три шара. Поскольку все шары изначально были разных цветов, любые три оставшихся шара также будут разных цветов. Следовательно, это событие произойдет независимо от того, какой шар будет вынут. Это достоверное событие, которое произойдет в любом из четырех возможных случаев.
Ответ: событие С произойдет при вынимании любого шара: красного, синего, белого или черного.

Сравните шансы этих событий.
Шанс (вероятность) события — это отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Всего в коробке 4 шара, поэтому общее число исходов равно 4.

• Для события A (вынут красный или белый шар) число благоприятных исходов равно 2. Вероятность события A: $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• Для события B (вынутый шар — не синий) число благоприятных исходов равно 3 (красный, белый или черный). Вероятность события B: $P(B) = \frac{3}{4}$.
• Для события C (оставшиеся шары разных цветов) число благоприятных исходов равно 4, так как оно происходит при вынимании любого шара. Вероятность события C: $P(C) = \frac{4}{4} = 1$.

Сравним полученные вероятности: $\frac{1}{2} = 0.5$, $\frac{3}{4} = 0.75$, $1$. Очевидно, что $0.5 < 0.75 < 1$. Таким образом, $P(A) < P(B) < P(C)$.
Ответ: самым маловероятным является событие А, более вероятным — событие B, а событие C является достоверным (самым вероятным). Шансы событий соотносятся как $P(A) < P(B) < P(C)$.