Страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называют частотой случайного события?

В теории вероятностей и статистике частотой случайного события (или, более точно, относительной частотой) называют величину, которая показывает, какая доля от общего числа проведённых испытаний (экспериментов) завершилась наступлением этого события. Это эмпирическая, то есть основанная на опыте, характеристика случайного события, в отличие от теоретической вероятности.

Частота вычисляется как отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу проведённых испытаний. Если было проведено $n$ независимых испытаний, и в $m$ из них наступило интересующее нас событие $A$, то частота события $A$, обозначаемая как $W(A)$ или $f_n(A)$, находится по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

Здесь $m$ — это число наступлений события $A$, а $n$ — общее число испытаний.

Например: предположим, игральный кубик подбросили 60 раз ($n=60$), и шестёрка выпала 12 раз ($m=12$). Тогда частота выпадения шестёрки в данной серии испытаний будет равна: $W(\text{выпала шестёрка}) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Важно понимать, что частота — это экспериментальная величина, и она может меняться от одной серии испытаний к другой. Однако, согласно закону больших чисел, при увеличении числа испытаний ($n$) частота случайного события $W(A)$ стремится к его теоретической вероятности $P(A)$. Для игрального кубика теоретическая вероятность выпадения шестёрки равна $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.167$. В нашем примере частота $0.2$ близка к этому значению.

Ответ: Частотой случайного события называют отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к общему числу фактически проведённых испытаний.

Назовите два свойства случайного эксперимента.

Случайный эксперимент (также называемый стохастическим опытом) в теории вероятностей — это процесс, который характеризуется двумя фундаментальными свойствами.

1. Неопределенность исхода

Это свойство означает, что до проведения эксперимента невозможно с абсолютной уверенностью предсказать, какой именно из возможных результатов (исходов) будет получен. Несмотря на эту неопределенность, совокупность всех возможных исходов эксперимента, называемая пространством элементарных событий ($\Omega$), известна заранее. Классический пример — подбрасывание игральной кости. Мы не можем предсказать, какое число выпадет, но мы точно знаем, что это будет одно из чисел в множестве $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

2. Воспроизводимость и статистическая устойчивость

Это свойство заключается в том, что эксперимент можно, по крайней мере теоретически, повторять неограниченное число раз в одних и тех же условиях. При многократном повторении эксперимента проявляется так называемая статистическая устойчивость: относительная частота появления каждого исхода стремится к некоторому постоянному значению. Это значение и принимается за вероятность данного исхода. Например, если много раз подбрасывать симметричную монету, доля выпадений «орла» будет всё ближе и ближе к числу $0.5$.

Ответ: Два ключевых свойства случайного эксперимента: 1) неопределенность (случайность) исхода, при которой результат заранее неизвестен, но известно множество всех возможных исходов; 2) воспроизводимость эксперимента в идентичных условиях, которая при многократном повторении приводит к статистической устойчивости относительных частот исходов.

Монету подбросили 1000 раз, при этом 495 раз выпал орёл. Чему равна частота события «выпал орёл» в этой серии экспериментов?

Частота события в серии экспериментов — это отношение числа экспериментов, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых экспериментов.

Обозначим:
$N$ — общее число экспериментов (подбрасываний монеты).
$M$ — число наступления события «выпал орёл».

Из условия задачи нам известно:
$N = 1000$
$M = 495$

Частота события вычисляется по формуле:
$Частота = \frac{M}{N}$

Подставим значения в формулу и произведем расчет:
$Частота = \frac{495}{1000} = 0,495$

Ответ: 0,495.

Ответьте на вопросы по таблице 2:

а) Чему равна частота события «остриём вниз» после 300 испытаний? события «остриём вверх» после 500 испытаний?

б) После какого числа испытаний частота события «остриём вниз» стала равна $0,45$?

в) Сколько раз кнопка упала остриём вверх у 6-й пары?

Для решения задачи необходимы данные из «таблицы 2», которая не приведена в вопросе. Ответы основаны на стандартной таблице результатов эксперимента по подбрасыванию канцелярской кнопки, которая обычно сопровождает это задание. В этой таблице представлены данные по 10 сериям испытаний (проведенных 10 парами), по 100 бросков в каждой.

а) Чему равна частота события «остриём вниз» после 300 испытаний? события «остриём вверх» после 500 испытаний?

Статистическая частота события определяется как отношение числа исходов, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых испытаний. Формула частоты: $W(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число испытаний, а $m$ — число наступлений события A.

1. Найдём частоту события «остриём вниз» после 300 испытаний.
Согласно данным таблицы, после 300 испытаний (суммарные результаты первых трёх пар) было зафиксировано 154 падения кнопки «остриём вверх».
Общее число испытаний $n = 300$.
Число падений «остриём вверх» равно 154.
Тогда число падений «остриём вниз» составляет: $m_{вниз} = n - m_{вверх} = 300 - 154 = 146$.
Частота события «остриём вниз» после 300 испытаний равна: $W = \frac{146}{300} = \frac{73}{150} \approx 0,487$.

2. Найдём частоту события «остриём вверх» после 500 испытаний.
Согласно таблице, после 500 испытаний (суммарные результаты первых пяти пар) общее число падений «остриём вверх» составило 253.
Общее число испытаний $n = 500$.
Число падений «остриём вверх» $m_{вверх} = 253$.
Частота события «остриём вверх» после 500 испытаний равна: $W = \frac{253}{500} = 0,506$.
Ответ: частота события «остриём вниз» после 300 испытаний равна $\frac{146}{300}$ (что приблизительно равно 0,487); частота события «остриём вверх» после 500 испытаний равна 0,506.

б) После какого числа испытаний частота события «остриём вниз» стала равна 0,45?

Данный вопрос, скорее всего, относится не к общей (накопленной) частоте, а к частоте, полученной в отдельной серии испытаний (эксперименте одной из пар), каждая из которых состояла из 100 бросков.
Если частота события «остриём вниз» в серии из 100 испытаний равна 0,45, это означает, что число таких падений было $m_{вниз} = 100 \times 0,45 = 45$.
Соответственно, число падений «остриём вверх» в этой же серии было $m_{вверх} = 100 - 45 = 55$.
По данным из стандартной таблицы, именно у второй пары было зафиксировано 55 падений «остриём вверх» в их серии из 100 бросков.
Общее число испытаний, проведённых к моменту завершения эксперимента второй парой, составляет $100 (1\text{-я пара}) + 100 (2\text{-я пара}) = 200$.
Ответ: после 200 испытаний.

в) Сколько раз кнопка упала остриём вверх у 6-й пары?

Для ответа на этот вопрос необходимо посмотреть в таблице значение, соответствующее 6-й паре в столбце, который показывает число падений «остриём вверх» в их индивидуальной серии из 100 испытаний.
Согласно таблице, 6-я пара зафиксировала 54 падения кнопки «остриём вверх».
Ответ: 54 раза.