Страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

980 Эксперимент состоит в одновременном подбрасывании двух монет.

1) Укажите все возможные события случайного эксперимента.

2) Проведите 100 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

3) Сведите в общую таблицу все полученные результаты.

4) Оцените вероятность каждого из возможных событий.

1) Укажите все возможные события случайного эксперимента.

При одновременном подбрасывании двух монет, каждая из которых может упасть орлом (О) или решкой (Р), мы можем выделить следующие элементарные исходы:

• Орел, Орел (О, О)
• Орел, Решка (О, Р)
• Решка, Орел (Р, О)
• Решка, Решка (Р, Р)

Эти 4 равновероятных элементарных исхода можно сгруппировать в 3 различных события, которые обычно рассматриваются в таких экспериментах:

• Событие 1: Выпало два орла. Этому событию благоприятствует один исход: (О, О).
• Событие 2: Выпал один орел и одна решка. Этому событию благоприятствуют два исхода: (О, Р) и (Р, О).
• Событие 3: Выпало две решки. Этому событию благоприятствует один исход: (Р, Р).

Ответ: Возможные события: выпадение двух орлов; выпадение одного орла и одной решки; выпадение двух решек.

2) Проведите 100 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

Поскольку проведение реального эксперимента является трудоемким, мы выполним его симуляцию. Результаты 100 смоделированных подбрасываний двух монет могут быть, например, следующими (реальные результаты случайного эксперимента могут отличаться, но, согласно закону больших чисел, будут близки к теоретически ожидаемым).

Ответ: Результаты 100 смоделированных экспериментов внесены в таблицу выше.

3) Сведите в общую таблицу все полученные результаты.

Чтобы свести все результаты, добавим в таблицу столбец с относительной частотой для каждого события. Относительная частота — это отношение числа наступлений события к общему числу экспериментов. Она является экспериментальной оценкой вероятности.

Ответ: Общая таблица с частотами и относительными частотами для каждого события представлена выше.

4) Оцените вероятность каждого из возможных событий.

Оценка вероятности события на основе экспериментальных данных производится с помощью вычисления его относительной частоты по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ – это частота события (сколько раз оно произошло), а $n$ – общее количество проведенных экспериментов.

На основе данных нашего эксперимента ($n=100$), произведем оценку вероятностей:

• Для события "выпало два орла":
  Частота $m = 23$.
  Оценка вероятности: $W(\text{два орла}) = \frac{23}{100} = 0.23$.
• Для события "выпал один орел и одна решка":
  Частота $m = 52$.
  Оценка вероятности: $W(\text{орел и решка}) = \frac{52}{100} = 0.52$.
• Для события "выпало две решки":
  Частота $m = 25$.
  Оценка вероятности: $W(\text{две решки}) = \frac{25}{100} = 0.25$.

Отметим, что эти экспериментальные оценки близки к теоретическим вероятностям: $P(\text{два орла}) = 1/4 = 0.25$, $P(\text{орел и решка}) = 2/4 = 0.5$, $P(\text{две решки}) = 1/4 = 0.25$.

Ответ: Оценка вероятности выпадения двух орлов равна 0.23; оценка вероятности выпадения одного орла и одной решки равна 0.52; оценка вероятности выпадения двух решек равна 0.25.

981 Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду?

Для оценки общего количества рыбы в пруду используется метод, основанный на пропорции. Предполагается, что отношение числа помеченных рыб к общему числу рыб в выборке примерно равно отношению числа всех помеченных рыб к общему числу рыб во всем пруду.

Обозначим общее количество рыб в пруду через $x$.

В пруду находится 90 помеченных рыб. Таким образом, доля помеченных рыб во всем пруду составляет $\frac{90}{x}$.

Во второй раз выловили 84 рыбы, из которых 5 были помеченными. Доля помеченных рыб в этой выборке составляет $\frac{5}{84}$.

Приравняем эти доли, чтобы составить пропорцию:

$\frac{90}{x} = \frac{5}{84}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot x = 90 \cdot 84$

Вычислим произведение в правой части:

$90 \cdot 84 = 7560$

Получаем уравнение:

$5x = 7560$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{7560}{5}$

$x = 1512$

Следовательно, в пруду примерно 1512 рыб.

Ответ: примерно 1512 рыб.