Страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

982 Укажите, совместимы события A и B или нет:

а) A: к остановке подошёл автобус № 3.

B: к остановке подошёл автобус № 5.

б) A: идёт дождь.

B: идут два студента.

в) A: студент идёт в пальто.

B: студент идёт в университет.

г) A: в футбольном матче Россия — Бразилия победит Россия.

B: в том же футбольном матче Россия — Бразилия победит Бразилия.

В теории вероятностей два события называются совместимыми, если наступление одного из них не исключает наступления другого в одном и том же испытании. Иными словами, они могут произойти одновременно.

Два события называются несовместимыми (или взаимоисключающими), если наступление одного из них исключает наступление другого в том же испытании. Они не могут произойти одновременно.

а) A: к остановке подошёл автобус № 3.
B: к остановке подошёл автобус № 5.
Эти два события являются совместимыми. К одной и той же остановке могут одновременно или почти одновременно подъехать два автобуса разных маршрутов. Наступление события А не исключает наступления события В.
Ответ: совместимы.

б) A: идёт дождь.
B: идут два студента.
Эти события совместимы. То, что идет дождь, никак не мешает двум студентам идти по улице (например, под зонтом). Одно событие не исключает другого, они могут происходить в одно и то же время.
Ответ: совместимы.

в) A: студент идёт в пальто.
B: студент идёт в университет.
Эти события совместимы. Один и тот же студент может одновременно выполнять оба действия: идти в университет и быть одетым в пальто. Одно событие описывает одежду, а другое — цель движения, и они не исключают друг друга.
Ответ: совместимы.

г) A: в футбольном матче Россия — Бразилия победит Россия.
B: в том же футбольном матче Россия — Бразилия победит Бразилия.
Эти события являются несовместимыми. По правилам футбола, в одном матче может быть только один победитель (или ничья, но этот исход не рассматривается в данных событиях). Если побеждает Россия (наступает событие А), то Бразилия в этом же матче победить не может (событие В исключается), и наоборот. Таким образом, эти события не могут произойти одновременно. Их совместное наступление является невозможным событием, то есть пересечение этих событий — пустое множество: $A \cap B = \emptyset$.
Ответ: несовместимы.

983 В лотерее выпущено 100 000 билетов и установлены: 1 выигрыш в 100 000 р., 10 выигрышей по 10 000 р., 100 выигрышей по 1000 р., 1000 выигрышей по 100 р. и 5000 выигрышей по 50 р. Человек купил один лотерейный билет.

а) Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 1000 р.?

б) Какова вероятность того, что он выиграет?

в) Какова вероятность того, что он не выиграет?

а) Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.
В данном случае общее число исходов $n$ — это общее количество выпущенных лотерейных билетов, то есть $n = 100\ 000$.
Событие A — «выиграть не меньше 1000 р.». Это означает, что выигрыш составит 1000 р., 10 000 р. или 100 000 р.
Найдем число благоприятствующих этому событию исходов $m_a$ — это общее количество билетов с указанными выигрышами:
$m_a = 1 (\text{выигрыш 100 000 р.}) + 10 (\text{выигрышей по 10 000 р.}) + 100 (\text{выигрышей по 1000 р.}) = 111$.
Вероятность этого события:
$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{111}{100\ 000} = 0,00111$.
Ответ: 0,00111

б) Событие B — «выиграть». Это означает, что купленный билет окажется с любым из перечисленных выигрышей.
Найдем общее число всех выигрышных билетов $m_b$, сложив количество всех призовых билетов:
$m_b = 1 + 10 + 100 + 1000 + 5000 = 6111$.
Вероятность выиграть равна:
$P(B) = \frac{m_b}{n} = \frac{6111}{100\ 000} = 0,06111$.
Ответ: 0,06111

в) Событие C — «не выиграть». Это событие является противоположным событию B «выиграть». Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Следовательно, вероятность не выиграть можно найти, вычтя из единицы вероятность выиграть, найденную в пункте б):
$P(C) = 1 - P(B) = 1 - 0,06111 = 0,93889$.
Также можно решить задачу прямым подсчетом. Количество невыигрышных билетов $m_c$ равно разности между общим количеством билетов и количеством всех выигрышных билетов:
$m_c = n - m_b = 100\ 000 - 6111 = 93\ 889$.
Вероятность не выиграть:
$P(C) = \frac{m_c}{n} = \frac{93\ 889}{100\ 000} = 0,93889$.
Ответ: 0,93889