Страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

984 Игральный кубик подбросили 100 раз. Результаты экспериментов занесли в таблицу.

1) Заполните последний столбец таблицы.

2) Найдите частоту следующих событий:

A: выпало чётное число очков;

B: выпало нечётное число очков;

C: выпало число очков, большее трёх.

1) Заполните последний столбец таблицы.

Частота события в процентах вычисляется по формуле: $ f = (\frac{k}{N}) \cdot 100\% $, где $k$ – число наступлений события, а $N$ – общее число экспериментов. В данном случае общее число подбрасываний кубика $N = 100$.

Рассчитаем частоту для каждого исхода:

• Частота выпадения 1 очка: $ (\frac{18}{100}) \cdot 100\% = 18\% $
• Частота выпадения 2 очков: $ (\frac{12}{100}) \cdot 100\% = 12\% $
• Частота выпадения 3 очков: $ (\frac{16}{100}) \cdot 100\% = 16\% $
• Частота выпадения 4 очков: $ (\frac{22}{100}) \cdot 100\% = 22\% $
• Частота выпадения 5 очков: $ (\frac{18}{100}) \cdot 100\% = 18\% $
• Частота выпадения 6 очков: $ (\frac{14}{100}) \cdot 100\% = 14\% $

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Значения в последнем столбце "Частота, %", сверху вниз: 18, 12, 16, 22, 18, 14.

2) Найдите частоту следующих событий:

A: выпало чётное число очков;
Событие A наступает, когда выпадает чётное число очков (2, 4 или 6).
Число наступлений события A равно сумме наступлений для этих исходов: $ k_A = 12 + 22 + 14 = 48 $.
Частота события А в процентах: $ f_A = (\frac{48}{100}) \cdot 100\% = 48\% $.
Ответ: 48%.

B: выпало нечётное число очков;
Событие B наступает, когда выпадает нечётное число очков (1, 3 или 5).
Число наступлений события B равно сумме наступлений для этих исходов: $ k_B = 18 + 16 + 18 = 52 $.
Частота события B в процентах: $ f_B = (\frac{52}{100}) \cdot 100\% = 52\% $.
Ответ: 52%.

C: выпало число очков, большее трёх.
Событие C наступает, когда выпадает число очков больше трёх (4, 5 или 6).
Число наступлений события C равно сумме наступлений для этих исходов: $ k_C = 22 + 18 + 14 = 54 $.
Частота события C в процентах: $ f_C = (\frac{54}{100}) \cdot 100\% = 54\% $.
Ответ: 54%.

985 Два кубика подбросили 10 раз, при этом событие «выпало 12 очков» не произошло ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?

Нет, утверждать, что вероятность этого события равна нулю, нельзя. Необходимо различать теоретическую вероятность события и его относительную частоту в конкретной серии экспериментов.

Теоретическая вероятность рассчитывается исходя из всех возможных исходов события. При подбрасывании двух стандартных игральных кубиков (с шестью гранями) общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Событие «выпало 12 очков» может произойти только в одном-единственном случае: когда на первом кубике выпало 6 очков и на втором кубике выпало 6 очков. Таким образом, число благоприятных исходов равно 1.

Следовательно, теоретическая вероятность этого события не равна нулю и вычисляется по формуле классической вероятности:$P(\text{выпало 12 очков}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{1}{36}$

То, что событие не произошло ни разу за 10 попыток, означает лишь, что его относительная частота в данной конкретной серии испытаний равна $\frac{0}{10} = 0$. Относительная частота является лишь оценкой теоретической вероятности и, согласно закону больших чисел, приближается к ней только при очень большом количестве испытаний. 10 бросков — это слишком малая выборка, чтобы делать выводы о невозможности события.

Более того, можно рассчитать вероятность того, что за 10 бросков 12 очков не выпадет ни разу. Вероятность невыпадения 12 очков в одном броске равна $1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$. Вероятность того, что это произойдет 10 раз подряд, составляет:$P(\text{10 раз не выпало 12}) = (\frac{35}{36})^{10} \approx 0.755$Это означает, что с вероятностью около 75.5% за 10 бросков сумма 12 очков действительно не выпадет. Таким образом, наблюдаемый результат является не просто возможным, а весьма вероятным.

Ответ: Нет, утверждать, что вероятность этого события равна нулю, нельзя. Теоретическая вероятность выпадения 12 очков равна $\frac{1}{36}$ и не является нулевой. Нулевая частота в короткой серии из 10 экспериментов — это случайный, но вполне ожидаемый результат.

986 Какое из следующих событий вам кажется более вероятным:

А: при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка;

В: при двадцати бросаниях монеты 10 раз выпал орёл и 10 раз — решка?

Для того чтобы определить, какое из событий более вероятно, необходимо рассчитать и сравнить их вероятности. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных равновероятных исходов.

А: при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка;

При двух бросаниях монеты общее число всех возможных равновероятных исходов равно $2^2 = 4$. Это следующие исходы (О – орёл, Р – решка): ОО, ОР, РО, РР. Событию «1 раз выпал орёл и 1 раз — решка» благоприятствуют два исхода из четырёх: ОР и РО. Таким образом, вероятность события А, обозначаемая как $P(A)$, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

В: при двадцати бросаниях монеты 10 раз выпал орёл и 10 раз — решка?

В этом случае общее число всех возможных исходов составляет $2^{20}$. Чтобы найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 10 раз (и, соответственно, решка тоже 10 раз), мы используем формулу Бернулли для биномиального распределения. Вероятность события $P_n(k)$ наступления ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В нашем случае: $n=20$ (броски), $k=10$ (орлы), $p=0.5$ (вероятность орла). Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 20 по 10, $C_{20}^{10}$:

$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = 184\,756$

Общее число исходов равно $2^{20} = 1\,048\,576$.

Тогда вероятность события B, $P(B)$, равна:

$P(B) = \frac{C_{20}^{10}}{2^{20}} = \frac{184\,756}{1\,048\,576} \approx 0.1762$

Сравнивая полученные вероятности, видим, что $P(A) = 0.5$, а $P(B) \approx 0.1762$.

Поскольку $0.5 > 0.1762$, то $P(A) > P(B)$. Это означает, что событие А является значительно более вероятным, чем событие В.

Хотя получение равного количества орлов и решек является наиболее вероятным *единичным* исходом в длинной серии бросков, его абсолютная вероятность уменьшается с увеличением числа бросков. Это происходит потому, что общее количество возможных комбинаций ($2^n$) растет гораздо быстрее, чем количество комбинаций с равным распределением ($C_n^{n/2}$).

Ответ: событие А (при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка) более вероятно.

987 Бросают два игральных кубика. Среди приведённых ниже со-бытий укажите те, вероятность которых равна $0$ и вероятностькоторых равна $1$:

A: сумма выпавших очков равна $1$;

B: сумма выпавших очков больше $1$;

C: сумма выпавших очков не больше $12$;

D: произведение выпавших очков больше $40$.

Для решения этой задачи проанализируем условия для каждого события. При броске двух стандартных игральных кубиков (с гранями от 1 до 6) общее число всех возможных исходов составляет $6 \times 6 = 36$.

Вероятность события, равная 0, означает, что событие является невозможным (не может произойти ни при каких обстоятельствах).

Вероятность события, равная 1, означает, что событие является достоверным (произойдет обязательно).

A: сумма выпавших очков равна 1

Минимальное значение, которое может выпасть на одном кубике, — это 1. Таким образом, минимальная возможная сумма очков при броске двух кубиков составляет $1 + 1 = 2$. Получить сумму, равную 1, невозможно. Следовательно, это невозможное событие.

Количество благоприятных исходов $m=0$. Вероятность события $P(A) = \frac{0}{36} = 0$.

Ответ: вероятность события A равна 0.

B: сумма выпавших очков больше 1

Как было установлено в предыдущем пункте, минимальная сумма очков, которая может выпасть, равна 2. Любой возможный исход (а их 36) даст сумму очков, большую 1. Это означает, что данное событие произойдет при любом исходе. Следовательно, это достоверное событие.

Количество благоприятных исходов $m=36$. Вероятность события $P(B) = \frac{36}{36} = 1$.

Ответ: вероятность события B равна 1.

C: сумма выпавших очков не больше 12

Формулировка "не больше 12" означает "меньше или равно 12" ($ \le 12 $). Максимальное значение на одном кубике — 6. Соответственно, максимальная возможная сумма очков при броске двух кубиков равна $6 + 6 = 12$. Любой возможный исход даст сумму, не превышающую 12. Следовательно, это достоверное событие.

Количество благоприятных исходов $m=36$. Вероятность события $P(C) = \frac{36}{36} = 1$.

Ответ: вероятность события C равна 1.

D: произведение выпавших очков больше 40

Максимальное значение на одном кубике — 6. Максимальное возможное произведение очков, которое можно получить, — это $6 \times 6 = 36$. Получить произведение, большее 40, невозможно. Следовательно, это невозможное событие.

Количество благоприятных исходов $m=0$. Вероятность события $P(D) = \frac{0}{36} = 0$.

Ответ: вероятность события D равна 0.

Итог:

События, вероятность которых равна 0: A и D.

События, вероятность которых равна 1: B и C.

988 Какова вероятность того, что в классе, где учится 25 человек:

а) хотя бы двое родились в одном месяце;

б) хотя бы трое родились в одном месяце?

а) хотя бы двое родились в одном месяце;

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков). В данном случае у нас есть 25 "предметов" (учеников), которые нужно разложить по 12 "ящикам" (месяцам).

Поскольку число учеников (25) больше числа месяцев в году (12), то, согласно принципу Дирихле, обязательно найдется хотя бы один месяц, в котором родились как минимум два ученика. Невозможно распределить 25 человек по 12 месяцам так, чтобы дни рождения всех были в разных месяцах, так как для этого потребовалось бы как минимум 25 месяцев.

Таким образом, событие "хотя бы двое родились в одном месяце" является достоверным событием. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

Ответ: 1

б) хотя бы трое родились в одном месяце?

Для решения этого пункта применим обобщенный принцип Дирихле. Он утверждает, что если $N$ предметов раскладывать по $M$ ящикам, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil N/M \rceil$ предметов, где $\lceil x \rceil$ — это математическая операция округления числа $x$ до ближайшего целого в большую сторону.

В нашей задаче количество учеников $N = 25$, а количество месяцев $M = 12$. Найдем минимальное количество учеников, которые гарантированно родились в одном и том же месяце: $ \lceil 25 / 12 \rceil = \lceil 2.083... \rceil = 3 $

Результат вычислений показывает, что при любом распределении 25 учеников по 12 месяцам обязательно найдется месяц, в котором родились как минимум 3 ученика.

Можно также рассуждать от противного. Предположим, что не существует месяца, в котором родилось трое или более учеников. Это означает, что в каждом из 12 месяцев родилось не более двух учеников. В таком случае максимальное количество учеников в классе могло бы быть: $12 \text{ месяцев} \times 2 \text{ ученика/месяц} = 24 \text{ ученика}$.

Однако в классе учится 25 человек, что больше 24. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Это доказывает, что обязательно должен быть месяц, в котором родились хотя бы трое учеников.

Следовательно, это событие также является достоверным, и его вероятность равна 1.

Ответ: 1

989 Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество лотерейных билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью, равной 1?

Для того чтобы решить эту задачу, необходимо найти такое наименьшее количество купленных билетов, при котором выигрыш становится гарантированным событием (то есть событием с вероятностью, равной 1).

Сначала определим общее количество билетов и количество выигрышных и проигрышных билетов.

• Всего выпущено билетов: $1000$.
• Количество выигрышных билетов: $100$.

Следовательно, количество проигрышных (невыигрышных) билетов составляет:
$1000 - 100 = 900$ билетов.

Чтобы гарантировать выигрыш, нужно рассмотреть самый неблагоприятный сценарий (худший случай). Худший случай — это когда мы покупаем билеты, и нам постоянно попадаются только проигрышные.

Мы можем купить все $900$ проигрышных билетов подряд. После покупки $900$ билетов, если нам не повезло, у нас все еще может не быть ни одного выигрышного. Однако после этого все оставшиеся в продаже билеты будут выигрышными.

Поэтому, чтобы гарантированно получить хотя бы один выигрышный билет, нам нужно купить на один билет больше, чем количество всех проигрышных билетов. Купив следующий, $901$-й билет, мы можем быть уверены, что он окажется выигрышным, так как проигрышных билетов уже не осталось.

Таким образом, наименьшее количество билетов, которое нужно купить, чтобы выиграть с вероятностью 1, равно:
$900 (\text{все проигрышные}) + 1 = 901$ билет.

Ответ: 901.