Номер 986, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 9. Частота и вероятность - номер 986, страница 272.

986 Какое из следующих событий вам кажется более вероятным:

А: при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка;

В: при двадцати бросаниях монеты 10 раз выпал орёл и 10 раз — решка?

Для того чтобы определить, какое из событий более вероятно, необходимо рассчитать и сравнить их вероятности. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных равновероятных исходов.

А: при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка;

При двух бросаниях монеты общее число всех возможных равновероятных исходов равно $2^2 = 4$. Это следующие исходы (О – орёл, Р – решка): ОО, ОР, РО, РР. Событию «1 раз выпал орёл и 1 раз — решка» благоприятствуют два исхода из четырёх: ОР и РО. Таким образом, вероятность события А, обозначаемая как $P(A)$, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

В: при двадцати бросаниях монеты 10 раз выпал орёл и 10 раз — решка?

В этом случае общее число всех возможных исходов составляет $2^{20}$. Чтобы найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 10 раз (и, соответственно, решка тоже 10 раз), мы используем формулу Бернулли для биномиального распределения. Вероятность события $P_n(k)$ наступления ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В нашем случае: $n=20$ (броски), $k=10$ (орлы), $p=0.5$ (вероятность орла). Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 20 по 10, $C_{20}^{10}$:

$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = 184\,756$

Общее число исходов равно $2^{20} = 1\,048\,576$.

Тогда вероятность события B, $P(B)$, равна:

$P(B) = \frac{C_{20}^{10}}{2^{20}} = \frac{184\,756}{1\,048\,576} \approx 0.1762$

Сравнивая полученные вероятности, видим, что $P(A) = 0.5$, а $P(B) \approx 0.1762$.

Поскольку $0.5 > 0.1762$, то $P(A) > P(B)$. Это означает, что событие А является значительно более вероятным, чем событие В.

Хотя получение равного количества орлов и решек является наиболее вероятным *единичным* исходом в длинной серии бросков, его абсолютная вероятность уменьшается с увеличением числа бросков. Это происходит потому, что общее количество возможных комбинаций ($2^n$) растет гораздо быстрее, чем количество комбинаций с равным распределением ($C_n^{n/2}$).

Ответ: событие А (при двух бросаниях монеты 1 раз выпал орёл и 1 раз — решка) более вероятно.