Номер 988, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 9. Частота и вероятность - номер 988, страница 272.

988 Какова вероятность того, что в классе, где учится 25 человек:

а) хотя бы двое родились в одном месяце;

б) хотя бы трое родились в одном месяце?

а) хотя бы двое родились в одном месяце;

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков). В данном случае у нас есть 25 "предметов" (учеников), которые нужно разложить по 12 "ящикам" (месяцам).

Поскольку число учеников (25) больше числа месяцев в году (12), то, согласно принципу Дирихле, обязательно найдется хотя бы один месяц, в котором родились как минимум два ученика. Невозможно распределить 25 человек по 12 месяцам так, чтобы дни рождения всех были в разных месяцах, так как для этого потребовалось бы как минимум 25 месяцев.

Таким образом, событие "хотя бы двое родились в одном месяце" является достоверным событием. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

Ответ: 1

б) хотя бы трое родились в одном месяце?

Для решения этого пункта применим обобщенный принцип Дирихле. Он утверждает, что если $N$ предметов раскладывать по $M$ ящикам, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil N/M \rceil$ предметов, где $\lceil x \rceil$ — это математическая операция округления числа $x$ до ближайшего целого в большую сторону.

В нашей задаче количество учеников $N = 25$, а количество месяцев $M = 12$. Найдем минимальное количество учеников, которые гарантированно родились в одном и том же месяце: $ \lceil 25 / 12 \rceil = \lceil 2.083... \rceil = 3 $

Результат вычислений показывает, что при любом распределении 25 учеников по 12 месяцам обязательно найдется месяц, в котором родились как минимум 3 ученика.

Можно также рассуждать от противного. Предположим, что не существует месяца, в котором родилось трое или более учеников. Это означает, что в каждом из 12 месяцев родилось не более двух учеников. В таком случае максимальное количество учеников в классе могло бы быть: $12 \text{ месяцев} \times 2 \text{ ученика/месяц} = 24 \text{ ученика}$.

Однако в классе учится 25 человек, что больше 24. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Это доказывает, что обязательно должен быть месяц, в котором родились хотя бы трое учеников.

Следовательно, это событие также является достоверным, и его вероятность равна 1.

Ответ: 1