Страница 274 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Игральный кубик подбросили 500 раз. Результаты представлены в таблице.

Какова частота наступления события «выпало не менее пяти очков»? Ответ дайте в процентах.

Для того чтобы найти частоту наступления события, необходимо разделить количество раз, когда это событие произошло, на общее количество испытаний. Результат нужно выразить в процентах.

1. Определим общее количество испытаний.

В условии задачи указано, что игральный кубик подбросили 500 раз. Следовательно, общее число испытаний $N = 500$.

2. Определим количество наступлений интересующего нас события.

Событие, частоту которого нам нужно найти, — «выпало не менее пяти очков». Это означает, что выпало 5 или 6 очков. Посмотрим в таблицу, чтобы узнать, сколько раз выпадало каждое из этих значений:

- Число выпадений 5 очков: 91 раз.
- Число выпадений 6 очков: 79 раз.

Теперь сложим эти значения, чтобы найти общее количество наступлений нужного нам события (обозначим его $M$):

$$ M = 91 + 79 = 170 $$

3. Рассчитаем частоту наступления события в процентах.

Частота наступления события вычисляется как отношение числа наступлений события к общему числу испытаний. Для получения результата в процентах, это отношение умножается на 100%.

$$ \text{Частота} (\%) = \frac{M}{N} \times 100\% $$

Подставим наши значения в формулу:

$$ \text{Частота} (\%) = \frac{170}{500} \times 100\% = 0,34 \times 100\% = 34\% $$

Ответ: 34%

4 Каким числом не может выражаться относительная частота случайного события?

1) 0 2) 0,5 3) 1 4) 1,5

Относительная частота случайного события определяется как отношение числа $m$ испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу $n$ проведенных испытаний. Формула для относительной частоты $W(A)$ события $A$: $W(A) = \frac{m}{n}$

Из определения следует, что число наступлений события $m$ не может быть отрицательным и не может превышать общее число испытаний $n$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le m \le n$

Так как общее число испытаний $n$ является положительным числом ($n > 0$), мы можем разделить все части неравенства на $n$: $\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$ что приводит к следующему неравенству для относительной частоты: $0 \le W(A) \le 1$

Это означает, что значение относительной частоты всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно.

Проверим предложенные варианты:

1) 0 – может быть значением относительной частоты. Это происходит, когда событие ни разу не наступило ($m=0$).

2) 0,5 – может быть значением относительной частоты. Например, если при 10 испытаниях событие наступило 5 раз ($m=5, n=10$), то $W(A) = 5/10 = 0,5$.

3) 1 – может быть значением относительной частоты. Это происходит, когда событие наступало в каждом испытании ($m=n$).

4) 1,5 – не может быть значением относительной частоты, так как $1,5 > 1$. Это значение нарушает условие $W(A) \le 1$.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое не может выражать относительную частоту случайного события, это 1,5.

Ответ: 1,5

5 Прошлой зимой в городе Оладьино относительная частота простудных заболеваний составила 12%. Сколько человек заболело, если в городе проживает 60 тыс. человек?

Чтобы найти количество заболевших человек, нам нужно вычислить 12% от общего числа жителей города.

Сначала определим общее число жителей. В условии сказано, что в городе проживает 60 тыс. человек, что равно 60 000 человек.

Относительная частота заболеваний составляет 12%. Для проведения расчетов переведем проценты в десятичную дробь. Для этого нужно разделить число процентов на 100:
$12\% = \frac{12}{100} = 0.12$

Теперь умножим общее количество жителей на эту десятичную дробь, чтобы найти абсолютное число заболевших:
$60000 \times 0.12 = 7200$

Таким образом, прошлой зимой в городе Оладьино заболело 7200 человек.

Ответ: 7200 человек.

6 По статистике из каждых 10 000 батареек 6 неисправны. Какова вероятность купить неисправную батарейку? Ответ дайте в процентах. Вероятность: $ \frac{6}{10000} $

Вероятность события по классическому определению — это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

В данном случае:
Общее число элементарных исходов $N$ — это общее количество произведенных батареек, то есть $N = 10000$.
Число благоприятствующих исходов $m$ — это количество неисправных батареек, то есть $m = 6$.

Вероятность $P$ купить неисправную батарейку вычисляется по формуле:
$P = \frac{m}{N}$
Подставляя данные из условия, получаем:
$P = \frac{6}{10000} = 0,0006$

Чтобы перевести полученное значение в проценты, его необходимо умножить на 100:
$0,0006 \times 100\% = 0,06\%$

Ответ: 0,06

7 Среди данных событий укажите то, вероятность которого равна $0,5$.

1) при бросании кнопки она упадёт на остриё

2) при бросании игрального кубика выпадет 6 очков

3) при бросании монеты выпадет орёл

4) при бросании металлической крышки от бутылки она упадёт зуб-цами вверх

Проанализируем вероятность каждого из предложенных событий, чтобы найти то, вероятность которого равна 0,5.

1) при бросании кнопки она упадёт на остриё
Кнопка может упасть на остриё или на свою плоскую часть (шляпку). Эти два исхода не являются равновероятными. Вероятность каждого исхода зависит от геометрии кнопки, её центра масс и других физических характеристик. Экспериментально можно установить, что вероятность падения на остриё обычно значительно меньше, чем вероятность падения на шляпку. Следовательно, эта вероятность не равна 0,5.
Ответ: вероятность не равна 0,5.

2) при бросании игрального кубика выпадет 6 очков
Стандартный игральный кубик имеет 6 граней, и при условии, что кубик "честный" (правильной формы и сбалансирован), выпадение любой из граней является равновероятным событием. Общее число возможных исходов $n=6$ (может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков). Благоприятный исход (выпадение 6 очков) только один, поэтому $m=1$.
Вероятность этого события вычисляется по классической формуле вероятности:
$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$
Эта величина не равна 0,5.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3) при бросании монеты выпадет орёл
У стандартной монеты есть две стороны: "орёл" и "решка". Если монета симметрична, то шансы выпадения каждой из сторон одинаковы. Таким образом, мы имеем два равновероятных исхода, $n=2$. Нас интересует один из них — выпадение орла, то есть число благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{2} = 0,5$
Эта вероятность в точности равна 0,5.
Ответ: 0,5.

4) при бросании металлической крышки от бутылки она упадёт зубцами вверх
Как и в случае с кнопкой, у крышки есть два возможных положения после падения: зубцами вверх или зубцами вниз. Однако из-за её асимметричной формы и неравномерного распределения массы эти два исхода не являются равновероятными. Вероятность того, что крышка упадет зубцами вверх, скорее всего, не будет равна 0,5.
Ответ: вероятность не равна 0,5.

Таким образом, единственное событие из перечисленных, вероятность которого равна 0,5, — это "при бросании монеты выпадет орёл".