Страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

971 В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год. (Используйте калькулятор.)

а) Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округлите до сотых.

б) Автомобили марок A, B, C — отечественные, D и E — иностранные. Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет отечественный автомобиль.

в) Расположите случайные события из пп. а и б на вероятностной шкале.

а)

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. В данном случае, это отношение числа проданных автомобилей марки B к общему числу всех проданных автомобилей.

Сначала найдем общее число проданных автомобилей за прошлый год (обозначим его $N$):

$N = 132 + 787 + 424 + 108 + 320 = 1771$

Число проданных автомобилей марки B (благоприятные исходы, $m$) равно 787.

Теперь найдем вероятность $P(B)$ того, что произвольный покупатель выберет машину марки B:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{787}{1771}$

Вычислим значение и округлим результат до сотых, как требуется в задании:

$P(B) \approx 0.44438...$

Округляя до сотых, получаем 0,44.

Ответ: 0,44.

б)

К отечественным автомобилям относятся марки A, B и C. Найдем общее число проданных отечественных автомобилей ($m_{отеч}$):

$m_{отеч} = 132 + 787 + 424 = 1343$

Общее число всех проданных автомобилей $N$ по-прежнему равно 1771.

Вероятность того, что произвольный покупатель выберет отечественный автомобиль ($P_{отеч}$), равна:

$P_{отеч} = \frac{m_{отеч}}{N} = \frac{1343}{1771}$

Для справки, десятичное значение этой дроби приблизительно равно $0,7583...$

Ответ: Вероятность выбора отечественного автомобиля равна $\frac{1343}{1771}$.

в)

Нам нужно расположить на вероятностной шкале два случайных события:

Событие 1 (из пункта а): "выбор машины марки B". Вероятность этого события $P_1 \approx 0,44$.

Событие 2 (из пункта б): "выбор отечественного автомобиля". Вероятность этого события $P_2 = \frac{1343}{1771} \approx 0,76$.

Вероятностная шкала — это отрезок от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие). Чтобы расположить на ней события, нужно сравнить их вероятности.

$0,44 < 0,76$, следовательно $P_1 < P_2$.

Это означает, что на вероятностной шкале событие "выбор машины марки B" будет находиться левее (ближе к 0), чем событие "выбор отечественного автомобиля".

Ответ: Событие из пункта а) имеет вероятность ≈0,44, а событие из пункта б) — ≈0,76. Так как $0,44 < 0,76$, на вероятностной шкале событие из пункта а) будет расположено левее (ближе к нулю), чем событие из пункта б).

972 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

Оцените вероятность каждого из возможных исходов случайных экспериментов, предложенных в задаче 963. Запишите результат, используя символику.

1) подбрасывание монеты

В этом эксперименте есть два возможных исхода: выпадение орла и выпадение решки. Если монета симметрична («правильная»), то эти исходы являются равновероятными. Общее число исходов $n=2$.

Вероятность события А – «выпадение орла» – равна отношению числа благоприятных исходов ($m=1$) к общему числу исходов ($n=2$).

$P(\text{орёл}) = \frac{1}{2}$

Аналогично, вероятность события B – «выпадение решки» – также равна:

$P(\text{решка}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $P(\text{выпадение орла}) = \frac{1}{2}$, $P(\text{выпадение решки}) = \frac{1}{2}$.

2) подбрасывание двух монет

При подбрасывании двух монет существует 4 равновероятных элементарных исхода. Обозначив орла «О», а решку «Р», получим следующие исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Общее число исходов $n=4$.

– Событие «выпадение двух орлов» соответствует одному исходу (О, О). Его вероятность: $P(\text{два орла}) = \frac{1}{4}$.

– Событие «выпадение двух решек» соответствует одному исходу (Р, Р). Его вероятность: $P(\text{две решки}) = \frac{1}{4}$.

– Событие «выпадение одного орла и одной решки» соответствует двум исходам: (О, Р) и (Р, О). Его вероятность: $P(\text{один орёл и одна решка}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(\text{выпадение двух орлов}) = \frac{1}{4}$, $P(\text{выпадение двух решек}) = \frac{1}{4}$, $P(\text{выпадение одного орла и одной решки}) = \frac{1}{2}$.

3) покупка лотерейного билета

В этом эксперименте исходы «выигрыш» и «проигрыш», как правило, не являются равновероятными. Вероятность каждого исхода зависит от условий конкретной лотереи: общего числа выпущенных билетов ($N$) и числа выигрышных билетов ($W$). В условии задачи эти данные отсутствуют.

Вероятность выигрыша можно выразить формулой: $P(\text{выигрыш}) = \frac{W}{N}$.

Вероятность проигрыша: $P(\text{проигрыш}) = \frac{N-W}{N}$.

Поскольку точные значения $N$ и $W$ неизвестны, дать числовую оценку вероятностей невозможно.

Ответ: Точно оценить вероятности невозможно без дополнительных данных. $P(\text{выигрыш}) = \frac{W}{N}$, $P(\text{проигрыш}) = \frac{N-W}{N}$, где $N$ – общее количество билетов, $W$ – количество выигрышных билетов.

4) подбрасывание игрального кубика

При подбрасывании стандартного игрального кубика имеется 6 равновероятных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Общее число исходов $n=6$.

Вероятность выпадения каждой из граней одинакова и равна $\frac{1}{6}$.

$P(\text{выпадение 1}) = \frac{1}{6}$

$P(\text{выпадение 2}) = \frac{1}{6}$

$P(\text{выпадение 3}) = \frac{1}{6}$

$P(\text{выпадение 4}) = \frac{1}{6}$

$P(\text{выпадение 5}) = \frac{1}{6}$

$P(\text{выпадение 6}) = \frac{1}{6}$

Ответ: $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$.

5) извлечение шара из мешка, в котором лежат 5 синих и 5 красных шаров

Общее количество шаров в мешке: $5 + 5 = 10$. Это общее число равновероятных исходов ($n=10$).

– Количество синих шаров – 5. Вероятность извлечь синий шар: $P(\text{синий шар}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

– Количество красных шаров – 5. Вероятность извлечь красный шар: $P(\text{красный шар}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(\text{извлечение синего шара}) = \frac{1}{2}$, $P(\text{извлечение красного шара}) = \frac{1}{2}$.

6) извлечение шара из мешка, в котором лежат 2 синих и 8 красных шаров

Общее количество шаров в мешке: $2 + 8 = 10$. Это общее число равновероятных исходов ($n=10$).

– Количество синих шаров – 2. Вероятность извлечь синий шар: $P(\text{синий шар}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

– Количество красных шаров – 8. Вероятность извлечь красный шар: $P(\text{красный шар}) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $P(\text{извлечение синего шара}) = \frac{1}{5}$, $P(\text{извлечение красного шара}) = \frac{4}{5}$.

7) подбрасывание кнопки

В эксперименте с подбрасыванием канцелярской кнопки есть два исхода: кнопка упала острием вверх или острием вниз. Эти исходы не являются равновероятными, так как их вероятности зависят от физических характеристик кнопки (ее геометрии, центра масс).

Определить эти вероятности теоретически невозможно. Их можно было бы оценить только экспериментально (статистически), проведя большое число испытаний. Единственное, что можно утверждать, это то, что сумма вероятностей этих двух исходов равна 1.

$P(\text{острием вверх}) + P(\text{острием вниз}) = 1$.

Ответ: Точно оценить вероятности невозможно без проведения эксперимента. Можно лишь утверждать, что $P(\text{острием вверх}) + P(\text{острием вниз}) = 1$.

973 Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Вероятность события — это доля случаев, в которых это событие происходит, от общего числа испытаний. Чтобы найти ожидаемое количество появлений события, нужно умножить общее число испытаний на вероятность этого события.

В данной задаче:
Общее число испытаний (рождений) $n = 10 000$.
Вероятность рождения близнецов $P = 0,012$.

Ожидаемое количество случаев рождения близнецов $E$ можно рассчитать по формуле:
$E = n \times P$

Подставим известные значения в формулу:
$E = 10 000 \times 0,012 = 120$

Следовательно, в 10 000 случаях рождений можно ожидать 120 случаев появления близнецов.
Ответ: 120.

974 Если вероятность события A составляет $30\%$, то можно ли утверждать, что при проведении 900 соответствующих случайных экспериментов событие A наступит ровно в 270 из них?

Нет, такое утверждение делать нельзя.

Вероятность события — это теоретическая мера, которая описывает долгосрочную частоту наступления события при многократном повторении эксперимента. Она не даёт гарантии точного результата для конечной серии испытаний.

В данном случае нам даны:

• Вероятность события А: $p = 30\% = 0.3$
• Количество экспериментов: $n = 900$

Мы можем вычислить математическое ожидание числа наступлений события А, то есть наиболее вероятное количество раз, которое оно произойдет. Оно вычисляется по формуле:

$E(X) = n \cdot p$

Подставим наши значения:

$E(X) = 900 \cdot 0.3 = 270$

Число 270 является самым вероятным исходом, но это не значит, что оно гарантированно произойдет. Поскольку каждый из 900 экспериментов является случайным, фактическое число наступлений события А является случайной величиной. Оно может быть равно 270, но с такой же легкостью может оказаться равным 269, 271, 260 или любому другому целому числу в некотором диапазоне вокруг 270. Каждый из этих исходов имеет свою собственную, отличную от нуля, вероятность.

Утверждение "событие А наступит ровно в 270 из них" было бы верным только в том случае, если бы вероятность этого конкретного исхода была равна 1 (или 100%). Однако вероятность того, что событие А наступит ровно $k=270$ раз в $n=900$ испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

$P_{900}(270) = C_{900}^{270} \cdot (0.3)^{270} \cdot (0.7)^{630}$

Это значение, хотя и является максимальным по сравнению с вероятностями для других $k$, но оно очень мало и далеко от 1. Используя нормальное приближение, можно показать, что эта вероятность составляет всего около 2.9%.

Закон больших чисел утверждает, что при увеличении числа экспериментов ($n \to \infty$) относительная частота наступления события ($k/n$) будет стремиться к его вероятности ($p$). Но это не гарантирует, что для конечного числа $n=900$ абсолютное число успехов $k$ будет в точности равно $n \cdot p$.

Ответ: Нет, утверждать, что событие А наступит ровно в 270 случаях, нельзя. Число 270 является лишь наиболее вероятным количеством наступлений события, но не гарантированным результатом.

975 Человек купил две батарейки, одна из которых оказалась неисправной. Можно ли исходя из этого с уверенностью утверждать, что вероятность купить неисправную батарейку равна $0,5$?

Нет, с уверенностью утверждать, что вероятность купить неисправную батарейку равна $0,5$, нельзя.

Такой вывод был бы сделан на основе всего лишь одного эксперимента с очень маленькой выборкой (две батарейки). В теории вероятностей и статистике различают два понятия:

1. Относительная частота события — это отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу произведенных испытаний. В данном случае было куплено $n=2$ батарейки, и из них $k=1$ оказалась неисправной. Относительная частота равна $k/n = 1/2 = 0,5$.

2. Вероятность события — это объективная мера возможности наступления этого события, которая является характеристикой всей генеральной совокупности (в данном случае, всех батареек, выпускаемых производителем).

Согласно закону больших чисел, относительная частота события сближается с его истинной вероятностью только при большом количестве испытаний. Выборка из двух элементов абсолютно недостаточна для того, чтобы делать какие-либо уверенные выводы об истинной вероятности.

Для иллюстрации можно привести пример с подбрасыванием монеты. Вероятность выпадения «орла» равна $0,5$. Однако если подбросить монету всего два раза, могут выпасть два «орла». В этом случае относительная частота будет равна $1$, но это очевидно не означает, что вероятность выпадения «орла» равна $1$. Точно так же, один случай покупки одной неисправной и одной исправной батарейки не доказывает, что вероятность купить неисправную равна $0,5$. Реальная вероятность брака на производстве, скорее всего, значительно ниже.

Ответ: Нет, нельзя. Относительная частота события, наблюдаемая в одном эксперименте с малым числом испытаний (в данном случае, два), не позволяет с уверенностью судить об истинной вероятности этого события. Для надежной оценки вероятности требуется значительно большее количество наблюдений.

976 РАССУЖДАЕМ

При проведении 1000 случайных экспериментов событие A произошло в 998 случаях. Является ли оно достоверным? Дайте словесные характеристики события A.

Является ли оно достоверным?

Достоверным событием в теории вероятностей называют такое событие, которое в результате данного эксперимента происходит всегда, то есть в 100% случаев. Вероятность достоверного события равна 1. Согласно условию задачи, было проведено 1000 случайных экспериментов. Событие A произошло в 998 случаях. Это означает, что были эксперименты, в которых событие A не наступило. Количество таких случаев равно $1000 - 998 = 2$. Поскольку существуют исходы, при которых событие A не происходит, оно не может считаться достоверным.

Ответ: нет, событие A не является достоверным.

Дайте словесные характеристики события А.

Словесную характеристику случайного события можно дать на основе его относительной частоты. Относительная частота события — это отношение числа испытаний, в которых событие наступило, к общему числу проведённых испытаний. Вычислим относительную частоту события A: $W(A) = \frac{998}{1000} = 0,998$. Значение относительной частоты 0,998 очень близко к 1. События, вероятность (или относительная частота) которых близка к единице, принято называть очень вероятными или практически достоверными. Несмотря на то что событие A не является абсолютно достоверным, его наступление в ходе одного эксперимента является крайне ожидаемым.

Ответ: событие A является очень вероятным (практически достоверным).

977 Где на вероятностной шкале расположены маловероятные события? очень вероятные события? практически невероятные события?

Вероятностная шкала — это числовой отрезок от 0 до 1. Вероятность любого события $P$ является числом из этого отрезка, то есть $0 \le P \le 1$. На этой шкале:

• $P=0$ означает, что событие невозможное (никогда не произойдет).
• $P=1$ означает, что событие достоверное (произойдет обязательно).
• $P=0.5$ означает, что событие имеет равные шансы произойти или не произойти.

Расположение интересующих нас событий на этой шкале будет следующим:

маловероятные события

Маловероятными называют события, вероятность которых мала, то есть значительно меньше 0.5, но больше нуля. Такие события происходят редко, но их наступление не исключено. На вероятностной шкале они располагаются в интервале, близком к нулю. Например, вероятность $P$ такого события может быть $0.1$, $0.05$ или $0.001$. Чем меньше значение вероятности, тем ближе точка, изображающая событие, находится к 0.

Ответ: Маловероятные события расположены на вероятностной шкале вблизи нуля, но не в самой точке 0.

очень вероятные события

Очень вероятными называют события, вероятность которых высока и близка к единице, но не равна ей. Это означает, что есть очень большие шансы, что событие произойдет, но остается небольшая вероятность того, что оно не случится. На вероятностной шкале такие события располагаются в интервале, близком к единице. Например, вероятность $P$ такого события может быть $0.9$, $0.95$ или $0.999$. Чем больше значение вероятности, тем ближе точка, изображающая событие, находится к 1.

Ответ: Очень вероятные события расположены на вероятностной шкале вблизи единицы, но не в самой точке 1.

практически невероятные события

Практически невероятные (или практически невозможные) события — это события, вероятность которых настолько мала, что ею можно пренебречь в практических целях. Их вероятность $P$ положительна, но чрезвычайно близка к нулю ($P \to 0$). На вероятностной шкале они находятся в непосредственной, крайне тесной близости к точке 0. Отличие от просто "маловероятных" событий заключается в степени близости к нулю. Если вероятность маловероятного события может быть, например, $1/100$, то вероятность практически невероятного события может быть $1/10^{100}$.

Ответ: Практически невероятные события расположены на вероятностной шкале в точке, которая чрезвычайно близка к нулю.

978 АНАЛИЗИРУЕМ Используя статистические данные, полученные при решении задачи 964, оцените:

а) вероятность выпадания чётного числа очков;

б) вероятность того, что выпадет не больше 4 очков;

в) вероятность того, что число выпавших очков не равно 3.

Для решения данной задачи необходимо использовать статистические данные из задачи №964. В условии той задачи сказано, что был проведен эксперимент по подбрасыванию игрального кубика 100 раз, и были зафиксированы следующие частоты выпадения очков:

• 1 очко: 18 раз
• 2 очка: 15 раз
• 3 очка: 16 раз
• 4 очка: 14 раз
• 5 очков: 19 раз
• 6 очков: 18 раз

Общее число испытаний (бросков) $N = 100$.

Оценкой вероятности события является его относительная частота, которую мы можем рассчитать по формуле $P(A) \approx \frac{m}{N}$, где $m$ — это количество раз, когда событие А произошло (частота события), а $N$ — общее число проведенных испытаний.

а) вероятность выпадания чётного числа очков;

Событие А — «выпало чётное число очков». Чётными числами на стандартном игральном кубике являются 2, 4 и 6. Чтобы найти общее число исходов, благоприятствующих этому событию, сложим их частоты из предоставленных данных:$m_А = \text{частота(2)} + \text{частота(4)} + \text{частота(6)} = 15 + 14 + 18 = 47$.Теперь вычислим относительную частоту (оценку вероятности) этого события:$P(А) \approx \frac{m_А}{N} = \frac{47}{100} = 0,47$.
Ответ: 0,47.

б) вероятность того, что выпадет не больше 4 очков;

Событие Б — «выпало не больше 4 очков». Это означает, что результатом броска могло быть число 1, 2, 3 или 4. Найдем суммарную частоту этих исходов:$m_Б = \text{частота(1)} + \text{частота(2)} + \text{частота(3)} + \text{частота(4)} = 18 + 15 + 16 + 14 = 63$.Оценим вероятность данного события:$P(Б) \approx \frac{m_Б}{N} = \frac{63}{100} = 0,63$.
Ответ: 0,63.

в) вероятность того, что число выпавших очков не равно 3.

Событие В — «число выпавших очков не равно 3». Это означает, что результатом броска могло быть любое число, кроме 3, то есть 1, 2, 4, 5 или 6.Данную вероятность можно оценить двумя способами.Способ 1: Использовать противоположное событие. Противоположное событие В' — «выпало число 3». Его частота, согласно данным, $m_{В'} = 16$.Вероятность противоположного события: $P(В') \approx \frac{16}{100} = 0,16$.Вероятность исходного события В равна $1$ минус вероятность противоположного события:$P(В) = 1 - P(В') = 1 - 0,16 = 0,84$.Способ 2: Напрямую сложить частоты всех благоприятствующих исходов (1, 2, 4, 5, 6):$m_В = 18 + 15 + 14 + 19 + 18 = 84$.Тогда вероятность события В:$P(В) \approx \frac{m_В}{N} = \frac{84}{100} = 0,84$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 0,84.

979 Саша купил в магазине пачку чая и решил взвесить её на лабораторных весах (их точность — до 1 миллиграмма). На пачке написан вес — 200 г. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

A: вес пачки больше 200 г;

B: вес пачки меньше 200 г;

C: вес пачки ровно 200 г;

D: вес пачки меньше 500 г;

E: вес пачки больше 100 г.

Для того чтобы расположить события на вероятностной шкале, проанализируем каждое из них. Вероятностная шкала — это отрезок от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие).

C: вес пачки ровно 200 г
Вес является непрерывной физической величиной. Даже при использовании точных лабораторных весов вероятность того, что вес окажется в точности равен 200,000... г, пренебрежимо мала и в теоретической вероятности для непрерывных распределений считается равной нулю. Это практически невозможное событие.
Ответ: Вероятность события C близка к 0.

A: вес пачки больше 200 г
В процессе производства вес продукта в упаковке всегда немного варьируется. Существуют допустимые отклонения от номинального веса. Вероятно, что часть пачек будет весить чуть больше 200 г. Так как событие C (вес ровно 200 г) практически невозможно, то вес будет либо больше, либо меньше 200 г. Вероятность того, что вес будет больше, довольно высока.
Ответ: Вероятность события A примерно равна 0,5.

B: вес пачки меньше 200 г
Аналогично событию A, из-за погрешностей при фасовке часть пачек будет весить немного меньше 200 г. Можно предположить, что отклонения в большую и меньшую сторону примерно равновероятны. Таким образом, вероятность этого события также довольно высока и примерно равна вероятности события A. $P(A) \approx P(B)$.
Ответ: Вероятность события B примерно равна 0,5.

D: вес пачки меньше 500 г
Номинальный вес пачки — 200 г. Крайне маловероятно, что на производстве допустят ошибку в +300 г (более чем в два раза). Такая пачка была бы очевидным браком и не попала бы в продажу. Следовательно, можно с полной уверенностью утверждать, что вес пачки будет меньше 500 г. Это практически достоверное событие.
Ответ: Вероятность события D близка к 1.

E: вес пачки больше 100 г
По той же логике, что и в событии D, ошибка в -100 г (недовес в половину продукта) является критической и практически невозможной на современном производстве. Пачка с таким весом была бы отбракована. Поэтому событие, что вес пачки больше 100 г, также является практически достоверным.
Ответ: Вероятность события E близка к 1.

Расположение на вероятностной шкале:

Исходя из анализа, события располагаются на вероятностной шкале (от 0 до 1) в следующем порядке по возрастанию их вероятности:

1. Событие C (вероятность практически равна 0).
2. События A и B (их вероятности примерно равны друг другу и составляют около 0,5).
3. События D и E (их вероятности практически равны 1, это достоверные события).

Таким образом, на шкале от 0 до 1 порядок будет: C, затем A и B (в одной точке), затем D и E (в одной точке).
Ответ: Порядок событий по возрастанию вероятности: $P(C) < P(A) = P(B) < P(D) = P(E)$.