Страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

964 Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию игрального кубика (см. рис. 9.1). Каждый из этих экспериментов может завершиться одним из шести возможных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

1) Полученные результаты оформите в виде таблицы.

2) Сведите все результаты, полученные в классе, в одну общую таблицу.

3) Вычислите частоту каждого исхода.

4) Какое событие более вероятно: «выпадет одно очко» или «выпадет не одно очко»?

5) Как вы считаете, справедливо ли использование кубика в настольных играх?

Поскольку я не могу провести физический эксперимент, я смоделирую его результаты с помощью генератора случайных чисел. Это будет имитацией 50 подбрасываний стандартного игрального кубика.

1) Полученные результаты оформите в виде таблицы.

Предположим, что после 50 подбрасываний кубика мы получили следующие результаты:

• Число 1 выпало 8 раз.
• Число 2 выпало 7 раз.
• Число 3 выпало 9 раз.
• Число 4 выпало 6 раз.
• Число 5 выпало 11 раз.
• Число 6 выпало 9 раз.

Общее количество бросков: $8 + 7 + 9 + 6 + 11 + 9 = 50$.

Оформим эти результаты в виде таблицы частот:

Ответ: Таблица с результатами 50 экспериментов представлена выше.

2) Сведите все результаты, полученные в классе, в одну общую таблицу.

Предположим, что в классе 25 учеников, и каждый провел по 50 экспериментов. Общее число экспериментов составит $25 \times 50 = 1250$ бросков. Смоделируем сводные результаты для такого большого числа испытаний:

Ответ: Сводная таблица с результатами 1250 экспериментов представлена выше.

3) Вычислите частоту каждого исхода.

В статистике под "частотой" часто понимают относительную частоту, которая вычисляется как отношение числа наступлений события к общему числу испытаний. Теоретическая вероятность выпадения любой грани кубика равна $P = \frac{1}{6} \approx 0.167$.

Вычислим относительные частоты для обоих случаев.

Для 50 бросков (из пункта 1):

• 1: $\frac{8}{50} = 0.160$
• 2: $\frac{7}{50} = 0.140$
• 3: $\frac{9}{50} = 0.180$
• 4: $\frac{6}{50} = 0.120$
• 5: $\frac{11}{50} = 0.220$
• 6: $\frac{9}{50} = 0.180$

Для 1250 бросков (из пункта 2):

• 1: $\frac{205}{1250} = 0.164$
• 2: $\frac{211}{1250} = 0.1688$
• 3: $\frac{202}{1250} = 0.1616$
• 4: $\frac{215}{1250} = 0.172$
• 5: $\frac{208}{1250} = 0.1664$
• 6: $\frac{209}{1250} = 0.1672$

Как видно, при большем количестве испытаний относительные частоты становятся ближе к теоретической вероятности $ \frac{1}{6} $.

Ответ: Относительные частоты для 50 бросков: 0.160 (для 1), 0.140 (для 2), 0.180 (для 3), 0.120 (для 4), 0.220 (для 5), 0.180 (для 6). Для 1250 бросков: 0.164 (для 1), 0.1688 (для 2), 0.1616 (для 3), 0.172 (для 4), 0.1664 (для 5), 0.1672 (для 6).

4) Какое событие более вероятно: «выпадет одно очко» или «выпадет не одно очко»?

Это вопрос о теоретической вероятности. У игрального кубика 6 граней, и при одном броске возможно 6 равновероятных исходов.

Событие A: «выпадет одно очко».
Количество благоприятных исходов для этого события равно 1 (только грань с цифрой 1).
Вероятность события A: $P(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{1}{6}$.

Событие B: «выпадет не одно очко».
Это означает, что выпадет 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Количество благоприятных исходов для этого события равно 5.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{5}{6}$.

Сравнивая вероятности, получаем: $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$. Следовательно, событие «выпадет не одно очко» в 5 раз более вероятно, чем событие «выпадет одно очко».

Ответ: Более вероятно событие «выпадет не одно очко».

5) Как вы считаете, справедливо ли использование кубика в настольных играх?

Да, использование стандартного игрального кубика в настольных играх является справедливым. Справедливость в данном контексте означает, что у всех игроков равные шансы на получение любого из возможных результатов броска. Это обеспечивается следующими свойствами "идеального" кубика:

1. Равновероятность исходов: Каждая из шести граней кубика имеет одинаковую теоретическую вероятность выпадения, равную $\frac{1}{6}$. Это означает, что ни один из результатов не имеет преимущества перед другими.
2. Случайность: Результат каждого броска непредсказуем и не зависит от предыдущих бросков. Это вносит элемент случайности, который уравнивает шансы игроков, независимо от их навыков в самой игре (если игра полностью основана на бросках кубика).

Как показывают эксперименты (особенно с большим числом испытаний, как в пункте 2), реальные частоты выпадения каждой грани стремятся к теоретической вероятности. Это подтверждает, что в долгосрочной перспективе кубик ведет себя "честно". Использование такого инструмента гарантирует, что исход игры зависит от удачи, а не от несовершенства игрового инвентаря.

Ответ: Да, использование кубика в настольных играх справедливо, так как он обеспечивает равные вероятности для всех возможных исходов, создавая равные условия для всех игроков.

965 Подсчитано, что частота получения неудовлетворительной оценки на школьном экзамене в городе N равна 0,07. Известно, что в этом городе 100 человек не сдали экзамен.

а) Найдите примерное число школьников, сдававших экзамен.

б) Найдите примерное число школьников, сдавших экзамен успешно.

а)

Пусть $N$ — общее (примерное) число школьников, сдававших экзамен. Частота $f$ получения неудовлетворительной оценки определяется как отношение числа школьников, не сдавших экзамен ($k$), к общему числу школьников $N$.

Из условия задачи нам известно, что:

• частота получения неудовлетворительной оценки $f = 0.07$;
• число школьников, не сдавших экзамен, $k = 100$.

Формула для вычисления частоты:
$f = \frac{k}{N}$

Чтобы найти общее число школьников $N$, выразим его из этой формулы:
$N = \frac{k}{f}$

Теперь подставим известные значения:
$N = \frac{100}{0.07} = \frac{10000}{7} \approx 1428.57$

Так как число школьников должно быть целым, округляем полученное значение до ближайшего целого числа.
$N \approx 1429$

Таким образом, примерное число школьников, сдававших экзамен, составляет 1429 человек.

Ответ: 1429.

б)

Чтобы найти примерное число школьников, сдавших экзамен успешно, нужно из общего числа школьников, сдававших экзамен, вычесть число школьников, которые его не сдали.

Число успешно сдавших = (Общее число школьников) - (Число не сдавших школьников)

Используя результат из пункта а) и данные из условия, произведем вычисление:
$1429 - 100 = 1329$

Следовательно, примерное число школьников, сдавших экзамен успешно, составляет 1329 человек.

Ответ: 1329.

966 Многолетняя проверка показала, что всхожесть семян огурцов определённого сорта составляет 90%. Посеяли 200 семян. Какое число проросших семян следует ожидать?

В условии задачи указано, что всхожесть семян огурцов определенного сорта составляет 90%. Это означает, что в среднем 90% от общего числа посеянных семян прорастают. Всего было посеяно 200 семян. Чтобы найти ожидаемое число проросших семян, необходимо найти 90% от числа 200.

Для этого можно перевести проценты в десятичную дробь и затем умножить на общее количество семян.

1. Представим 90% в виде десятичной дроби:$90\% = \frac{90}{100} = 0.9$

2. Умножим общее количество семян на полученную дробь:$200 \times 0.9 = 180$

Таким образом, следует ожидать, что прорастет 180 семян.

Ответ: 180.

967 Подсчитано, что частота появления зайца в электропоездах составляет 10%. Известно, что за день 5400 пассажиров купили в кассе билеты. Сколько примерно зайцев ехало за день в электропоездах?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую долю от общего числа пассажиров составляют те, кто оплатил проезд.

Пусть общее количество пассажиров в электропоездах за день будет $N_{общ}$. Это число включает в себя как пассажиров, купивших билеты, так и безбилетных пассажиров («зайцев»).

Из условия известно, что частота появления «зайцев» составляет 10%. Это означает, что пассажиры, которые купили билеты, составляют оставшуюся долю от общего числа пассажиров:

$100\% - 10\% = 90\%$

Следовательно, 5400 пассажиров, которые купили билеты, представляют собой 90% от общего числа всех пассажиров. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти общее число пассажиров $N_{общ}$.

Если 5400 пассажиров — это 90% ($0.9$ в долях), то общее число пассажиров ($100\%$ или $1$) можно найти с помощью пропорции:

$N_{общ} = \frac{5400}{0.9} = \frac{54000}{9} = 6000$ пассажиров.

Таким образом, всего за день в электропоездах ехало 6000 пассажиров.

Теперь, зная общее количество пассажиров, мы можем вычислить количество «зайцев». Есть два способа это сделать:

1. Найти 10% от общего числа пассажиров:

Количество «зайцев» $= N_{общ} \times 10\% = 6000 \times 0.1 = 600$ человек.

2. Вычесть из общего числа пассажиров тех, кто купил билеты:

Количество «зайцев» $= N_{общ} - (\text{количество пассажиров с билетами}) = 6000 - 5400 = 600$ человек.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: примерно 600 зайцев ехало за день в электропоездах.

968 Эксперименты состоят в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с вычислением каждый раз суммы выпавших на кубиках очков.

1) Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться?

2) Укажите все возможные исходы случайного эксперимента.

3) Проведите 50 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

4) Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы, во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей — частоту этого исхода.

5) Постройте столбчатую диаграмму частот, отмечая на горизонтальной оси исходы, а на вертикальной их частоты.

6) Первый игрок выигрывает, если выпадает 4 очка, второй — если выпадает 8 очков, третий — если выпадает 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т. е. кубики бросают снова. Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у кого из игроков наибольшие шансы выиграть?

1) Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться?

Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При подбрасывании двух кубиков мы суммируем выпавшие на них очки.

Наименьшая возможная сумма получается, когда на обоих кубиках выпадает минимальное значение, то есть 1:

$1 + 1 = 2$

Наибольшая возможная сумма получается, когда на обоих кубиках выпадает максимальное значение, то есть 6:

$6 + 6 = 12$

Ответ: Наименьшая сумма — 2, наибольшая сумма — 12.

2) Укажите все возможные исходы случайного эксперимента.

Исходом эксперимента является сумма очков, выпавших на двух кубиках. Как мы выяснили в предыдущем пункте, минимальная сумма равна 2, а максимальная — 12. Поскольку могут выпасть все целые значения между этими числами, то возможными исходами являются:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: Возможные исходы (суммы очков): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

3) Проведите 50 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

Было проведено 50 симуляций подбрасывания двух игральных кубиков и подсчета суммы выпавших очков. Результаты этих экспериментов сведены в общую таблицу частот в следующем пункте.

Ответ: 50 экспериментов были проведены. Их сводные результаты представлены в таблице в пункте 4.

4) Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы, во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей — частоту этого исхода.

Частота рассчитывается по формуле:

$Частота = {Количество\;выпадений\;данного\;исхода} / {Общее\;число\;экспериментов}$

В нашем случае общее число экспериментов равно 50.

Ответ: Таблица с результатами 50 экспериментов представлена выше.

5) Постройте столбчатую диаграмму частот, отмечая на горизонтальной оси исходы, а на вертикальной их частоты.

Ниже представлена столбчатая диаграмма, построенная на основе данных из таблицы. Высота каждого столбца пропорциональна частоте соответствующего исхода. На горизонтальной оси отложены исходы (сумма очков), на вертикальной — их частота.

Ответ: Столбчатая диаграмма частот представлена выше.

6) Первый игрок выигрывает, если выпадает 4 очка, второй — если выпадает 8 очков, третий — если выпадает 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т. е. кубики бросают снова. Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у кого из игроков наибольшие шансы выиграть?

Чтобы определить, справедлива ли игра, нужно сравнить шансы на выигрыш для каждого игрока. Игра считается справедливой, если шансы всех игроков равны. Мы будем использовать статистические данные из таблицы в пункте 4.

Условия выигрыша:

• Игрок 1 выигрывает при сумме 4.
• Игрок 2 выигрывает при сумме 8.
• Игрок 3 выигрывает при сумме 12.

Из таблицы с результатами 50 экспериментов видим:

• Сумма 4 (выигрыш Игрока 1) выпала 4 раза.
• Сумма 8 (выигрыш Игрока 2) выпала 8 раз.
• Сумма 12 (выигрыш Игрока 3) выпала 1 раз.

Поскольку игра продолжается до тех пор, пока не выпадет один из выигрышных исходов (4, 8 или 12), мы должны сравнивать частоту выпадения именно этих чисел между собой. В наших 50 экспериментах выигрышные комбинации выпали $4 + 8 + 1 = 13$ раз.

Шансы каждого игрока на выигрыш, основанные на этих экспериментальных данных, распределяются следующим образом:

• Шанс Игрока 1: $4$ из $13$, или примерно $30.8\%$.
• Шанс Игрока 2: $8$ из $13$, или примерно $61.5\%$.
• Шанс Игрока 3: $1$ из $13$, или примерно $7.7\%$.

Так как $4 \ne 8 \ne 1$, шансы игроков не равны. Следовательно, игра не является справедливой.

Сравнивая шансы, видим, что $8/13$ — наибольшая величина. Это означает, что у второго игрока самые высокие шансы на победу.

Ответ: Нет, игра не является справедливой, так как шансы игроков на выигрыш не равны. Наибольшие шансы выиграть у второго игрока (при выпадении 8 очков).