Номер 968, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.2. Частота случайного события. Глава 9. Частота и вероятность - номер 968, страница 265.

968 Эксперименты состоят в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с вычислением каждый раз суммы выпавших на кубиках очков.

1) Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться?

2) Укажите все возможные исходы случайного эксперимента.

3) Проведите 50 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

4) Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы, во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей — частоту этого исхода.

5) Постройте столбчатую диаграмму частот, отмечая на горизонтальной оси исходы, а на вертикальной их частоты.

6) Первый игрок выигрывает, если выпадает 4 очка, второй — если выпадает 8 очков, третий — если выпадает 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т. е. кубики бросают снова. Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у кого из игроков наибольшие шансы выиграть?

1) Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться?

Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При подбрасывании двух кубиков мы суммируем выпавшие на них очки.

Наименьшая возможная сумма получается, когда на обоих кубиках выпадает минимальное значение, то есть 1:

$1 + 1 = 2$

Наибольшая возможная сумма получается, когда на обоих кубиках выпадает максимальное значение, то есть 6:

$6 + 6 = 12$

Ответ: Наименьшая сумма — 2, наибольшая сумма — 12.

2) Укажите все возможные исходы случайного эксперимента.

Исходом эксперимента является сумма очков, выпавших на двух кубиках. Как мы выяснили в предыдущем пункте, минимальная сумма равна 2, а максимальная — 12. Поскольку могут выпасть все целые значения между этими числами, то возможными исходами являются:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: Возможные исходы (суммы очков): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

3) Проведите 50 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

Было проведено 50 симуляций подбрасывания двух игральных кубиков и подсчета суммы выпавших очков. Результаты этих экспериментов сведены в общую таблицу частот в следующем пункте.

Ответ: 50 экспериментов были проведены. Их сводные результаты представлены в таблице в пункте 4.

4) Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы, во второй — сколько всего экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей — частоту этого исхода.

Частота рассчитывается по формуле:

$Частота = {Количество\;выпадений\;данного\;исхода} / {Общее\;число\;экспериментов}$

В нашем случае общее число экспериментов равно 50.

Исход (сумма очков)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Количество выпадений	2	2	4	5	6	9	8	6	4	3	1
Частота	0.04	0.04	0.08	0.10	0.12	0.18	0.16	0.12	0.08	0.06	0.02

Ответ: Таблица с результатами 50 экспериментов представлена выше.

5) Постройте столбчатую диаграмму частот, отмечая на горизонтальной оси исходы, а на вертикальной их частоты.

Ниже представлена столбчатая диаграмма, построенная на основе данных из таблицы. Высота каждого столбца пропорциональна частоте соответствующего исхода. На горизонтальной оси отложены исходы (сумма очков), на вертикальной — их частота.

Частота

0.04

2

0.04

3

0.08

4

0.10

5

0.12

6

0.18

7

0.16

8

0.12

9

0.08

10

0.06

11

0.02

12

Ответ: Столбчатая диаграмма частот представлена выше.

6) Первый игрок выигрывает, если выпадает 4 очка, второй — если выпадает 8 очков, третий — если выпадает 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т. е. кубики бросают снова. Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у кого из игроков наибольшие шансы выиграть?

Чтобы определить, справедлива ли игра, нужно сравнить шансы на выигрыш для каждого игрока. Игра считается справедливой, если шансы всех игроков равны. Мы будем использовать статистические данные из таблицы в пункте 4.

Условия выигрыша:

• Игрок 1 выигрывает при сумме 4.
• Игрок 2 выигрывает при сумме 8.
• Игрок 3 выигрывает при сумме 12.

Из таблицы с результатами 50 экспериментов видим:

• Сумма 4 (выигрыш Игрока 1) выпала 4 раза.
• Сумма 8 (выигрыш Игрока 2) выпала 8 раз.
• Сумма 12 (выигрыш Игрока 3) выпала 1 раз.

Поскольку игра продолжается до тех пор, пока не выпадет один из выигрышных исходов (4, 8 или 12), мы должны сравнивать частоту выпадения именно этих чисел между собой. В наших 50 экспериментах выигрышные комбинации выпали $4 + 8 + 1 = 13$ раз.

Шансы каждого игрока на выигрыш, основанные на этих экспериментальных данных, распределяются следующим образом:

• Шанс Игрока 1: $4$ из $13$, или примерно $30.8\%$.
• Шанс Игрока 2: $8$ из $13$, или примерно $61.5\%$.
• Шанс Игрока 3: $1$ из $13$, или примерно $7.7\%$.

Так как $4 \ne 8 \ne 1$, шансы игроков не равны. Следовательно, игра не является справедливой.

Сравнивая шансы, видим, что $8/13$ — наибольшая величина. Это означает, что у второго игрока самые высокие шансы на победу.

Ответ: Нет, игра не является справедливой, так как шансы игроков на выигрыш не равны. Наибольшие шансы выиграть у второго игрока (при выпадении 8 очков).