Номер 964, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.2. Частота случайного события. Глава 9. Частота и вероятность - номер 964, страница 265.

964 Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию игрального кубика (см. рис. 9.1). Каждый из этих экспериментов может завершиться одним из шести возможных исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

1) Полученные результаты оформите в виде таблицы.

2) Сведите все результаты, полученные в классе, в одну общую таблицу.

3) Вычислите частоту каждого исхода.

4) Какое событие более вероятно: «выпадет одно очко» или «выпадет не одно очко»?

5) Как вы считаете, справедливо ли использование кубика в настольных играх?

Поскольку я не могу провести физический эксперимент, я смоделирую его результаты с помощью генератора случайных чисел. Это будет имитацией 50 подбрасываний стандартного игрального кубика.

1) Полученные результаты оформите в виде таблицы.

Предположим, что после 50 подбрасываний кубика мы получили следующие результаты:

• Число 1 выпало 8 раз.
• Число 2 выпало 7 раз.
• Число 3 выпало 9 раз.
• Число 4 выпало 6 раз.
• Число 5 выпало 11 раз.
• Число 6 выпало 9 раз.

Общее количество бросков: $8 + 7 + 9 + 6 + 11 + 9 = 50$.

Оформим эти результаты в виде таблицы частот:

Исход (выпавшее число очков)	Частота (количество выпадений)
1	8
2	7
3	9
4	6
5	11
6	9
Итого	50

Ответ: Таблица с результатами 50 экспериментов представлена выше.

2) Сведите все результаты, полученные в классе, в одну общую таблицу.

Предположим, что в классе 25 учеников, и каждый провел по 50 экспериментов. Общее число экспериментов составит $25 \times 50 = 1250$ бросков. Смоделируем сводные результаты для такого большого числа испытаний:

Исход (выпавшее число очков)	Общая частота (количество выпадений в классе)
1	205
2	211
3	202
4	215
5	208
6	209
Итого	1250

Ответ: Сводная таблица с результатами 1250 экспериментов представлена выше.

3) Вычислите частоту каждого исхода.

В статистике под "частотой" часто понимают относительную частоту, которая вычисляется как отношение числа наступлений события к общему числу испытаний. Теоретическая вероятность выпадения любой грани кубика равна $P = \frac{1}{6} \approx 0.167$.

Вычислим относительные частоты для обоих случаев.

Для 50 бросков (из пункта 1):

• 1: $\frac{8}{50} = 0.160$
• 2: $\frac{7}{50} = 0.140$
• 3: $\frac{9}{50} = 0.180$
• 4: $\frac{6}{50} = 0.120$
• 5: $\frac{11}{50} = 0.220$
• 6: $\frac{9}{50} = 0.180$

Для 1250 бросков (из пункта 2):

• 1: $\frac{205}{1250} = 0.164$
• 2: $\frac{211}{1250} = 0.1688$
• 3: $\frac{202}{1250} = 0.1616$
• 4: $\frac{215}{1250} = 0.172$
• 5: $\frac{208}{1250} = 0.1664$
• 6: $\frac{209}{1250} = 0.1672$

Как видно, при большем количестве испытаний относительные частоты становятся ближе к теоретической вероятности $ \frac{1}{6} $.

Ответ: Относительные частоты для 50 бросков: 0.160 (для 1), 0.140 (для 2), 0.180 (для 3), 0.120 (для 4), 0.220 (для 5), 0.180 (для 6). Для 1250 бросков: 0.164 (для 1), 0.1688 (для 2), 0.1616 (для 3), 0.172 (для 4), 0.1664 (для 5), 0.1672 (для 6).

4) Какое событие более вероятно: «выпадет одно очко» или «выпадет не одно очко»?

Это вопрос о теоретической вероятности. У игрального кубика 6 граней, и при одном броске возможно 6 равновероятных исходов.

Событие A: «выпадет одно очко».
Количество благоприятных исходов для этого события равно 1 (только грань с цифрой 1).
Вероятность события A: $P(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{1}{6}$.

Событие B: «выпадет не одно очко».
Это означает, что выпадет 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Количество благоприятных исходов для этого события равно 5.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{5}{6}$.

Сравнивая вероятности, получаем: $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$. Следовательно, событие «выпадет не одно очко» в 5 раз более вероятно, чем событие «выпадет одно очко».

Ответ: Более вероятно событие «выпадет не одно очко».

5) Как вы считаете, справедливо ли использование кубика в настольных играх?

Да, использование стандартного игрального кубика в настольных играх является справедливым. Справедливость в данном контексте означает, что у всех игроков равные шансы на получение любого из возможных результатов броска. Это обеспечивается следующими свойствами "идеального" кубика:

1. Равновероятность исходов: Каждая из шести граней кубика имеет одинаковую теоретическую вероятность выпадения, равную $\frac{1}{6}$. Это означает, что ни один из результатов не имеет преимущества перед другими.
2. Случайность: Результат каждого броска непредсказуем и не зависит от предыдущих бросков. Это вносит элемент случайности, который уравнивает шансы игроков, независимо от их навыков в самой игре (если игра полностью основана на бросках кубика).

Как показывают эксперименты (особенно с большим числом испытаний, как в пункте 2), реальные частоты выпадения каждой грани стремятся к теоретической вероятности. Это подтверждает, что в долгосрочной перспективе кубик ведет себя "честно". Использование такого инструмента гарантирует, что исход игры зависит от удачи, а не от несовершенства игрового инвентаря.

Ответ: Да, использование кубика в настольных играх справедливо, так как он обеспечивает равные вероятности для всех возможных исходов, создавая равные условия для всех игроков.