Страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

953 АНАЛИЗИРУЕМ Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну. Оцените шансы следующих событий:

A: на этой карте — король;

B: эта карта красной масти;

C: эта карта бубновой масти.

Для оценки шансов каждого события воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

В данной задаче общее число исходов $n$ — это количество карт в колоде, то есть $n=36$.

A: на этой карте — король;

В стандартной колоде из 36 карт имеется 4 короля (по одному каждой масти). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m=4$.

Вероятность (шанс) этого события:

$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Ответ: Шансы, что на карте будет король, равны $\frac{1}{9}$.

B: эта карта красной масти;

Красные масти — это червы и бубны. В колоде из 36 карт на каждую масть приходится по 9 карт. Следовательно, общее количество карт красной масти равно $9 + 9 = 18$. Число благоприятствующих исходов для события B равно $m=18$.

Вероятность (шанс) этого события:

$P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

Ответ: Шансы, что карта будет красной масти, равны $\frac{1}{2}$.

C: эта карта бубновой масти.

В колоде 9 карт бубновой масти. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию C, равно $m=9$.

Вероятность (шанс) этого события:

$P(C) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Ответ: Шансы, что карта будет бубновой масти, равны $\frac{1}{4}$.

954 Сравните шансы событий:

A: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать ровно 3 номера;

B: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать хотя бы 3 номера.

Чтобы сравнить шансы событий A и B, необходимо найти и сравнить их вероятности. Вероятность события по классическому определению равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число исходов $n$. В лотерее «Спортлото 6 из 49» разыгрывается 6 номеров из 49. Общее число возможных комбинаций из 6 номеров, которые могут выпасть, равно числу сочетаний из 49 по 6:

$n = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13\,983\,816$.

A: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать ровно 3 номера;

Найдем число исходов $m_A$, благоприятствующих событию A. Для этого в выбранном билете должны оказаться 3 номера из 6 выигрышных и, соответственно, 3 номера из $49 - 6 = 43$ невыигрышных.Число способов выбрать 3 выигрышных номера из 6 равно $C_6^3$.Число способов выбрать 3 невыигрышных номера из 43 равно $C_{43}^3$.Используя правило умножения в комбинаторике, получаем число благоприятных исходов:

$m_A = C_6^3 \times C_{43}^3 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{43!}{3!40!} = 20 \times \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{6} = 20 \times 12\,341 = 246\,820$.

Таким образом, вероятность события A равна: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{246\,820}{13\,983\,816}$.

B: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать хотя бы 3 номера.

Событие B означает, что угадано 3, 4, 5 или 6 номеров. Это объединение четырех несовместных (взаимоисключающих) событий. Поэтому число благоприятствующих исходов $m_B$ равно сумме исходов для каждого случая.

Случай 1: угадано ровно 3 номера. Число исходов $m_3 = C_6^3 \times C_{43}^3 = 246\,820$.
Случай 2: угадано ровно 4 номера (4 из 6 выигрышных и 2 из 43 невыигрышных).
$m_4 = C_6^4 \times C_{43}^2 = \frac{6!}{4!2!} \times \frac{43!}{2!41!} = 15 \times 903 = 13\,545$.
Случай 3: угадано ровно 5 номеров (5 из 6 выигрышных и 1 из 43 невыигрышных).
$m_5 = C_6^5 \times C_{43}^1 = 6 \times 43 = 258$.
Случай 4: угадано ровно 6 номеров (все 6 из 6 выигрышных).
$m_6 = C_6^6 \times C_{43}^0 = 1 \times 1 = 1$.

Суммарное число благоприятствующих исходов для события B:

$m_B = m_3 + m_4 + m_5 + m_6 = 246\,820 + 13\,545 + 258 + 1 = 260\,624$.

Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{260\,624}{13\,983\,816}$.

Для окончательного ответа сравним шансы (вероятности) этих двух событий. Это можно сделать как логически, так и численно.

Логически: Событие B "угадать хотя бы 3 номера" включает в себя событие A "угадать ровно 3 номера", а также другие возможные события (угадать 4, 5 или 6 номеров). Так как $B$ является объединением события $A$ и других событий с ненулевой вероятностью, то вероятность $P(B)$ обязательно будет больше вероятности $P(A)$.

Численно: Сравним полученные вероятности: $P(A) = \frac{246\,820}{13\,983\,816}$ и $P(B) = \frac{260\,624}{13\,983\,816}$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, достаточно сравнить их числители: $246\,820 < 260\,624$. Следовательно, $P(A) < P(B)$.

Ответ: Шансы события B (угадать хотя бы 3 номера) выше, чем шансы события A (угадать ровно 3 номера).

955 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Чтобы открыть первый кодовый замок, надо нажать 3 цифры из 10, а чтобы открыть второй замок — 7 цифр из 10. Порядок цифр не учитывается. Верно ли, что взломать второй замок труднее?

Чтобы определить, верно ли утверждение, необходимо сравнить количество возможных комбинаций для каждого из замков. Сложность взлома напрямую зависит от общего числа вариантов кода. Так как по условию порядок нажатия цифр не учитывается, для расчета количества комбинаций мы будем использовать формулу числа сочетаний.

Число сочетаний из n элементов по k находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов для выбора (в нашем случае 10 цифр), а $k$ — количество элементов, которые необходимо выбрать.

Количество комбинаций для первого замка

Для первого замка нужно выбрать 3 цифры из 10. Следовательно, $n=10$ и $k=3$.

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

Таким образом, для первого замка существует 120 возможных комбинаций.

Количество комбинаций для второго замка

Для второго замка нужно выбрать 7 цифр из 10. Следовательно, $n=10$ и $k=7$.

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

Таким образом, для второго замка также существует 120 возможных комбинаций.

Вывод

Сравнивая количество комбинаций для обоих замков, мы видим, что оно одинаково: $120 = 120$. Это также следует из основного свойства сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В нашем случае $C_{10}^3 = C_{10}^{10-3} = C_{10}^7$. Выбрать 3 цифры, которые нужно нажать, — это то же самое, что и выбрать 7 цифр, которые нажимать не нужно.

Поскольку количество вариантов для взлома обоих замков равно, их сложность одинакова. Следовательно, утверждение о том, что второй замок взломать труднее, является неверным.

Ответ: Неверно.

956 АНАЛИЗИРУЕМ В финальный забег олимпийского турнира вышел российский спортсмен. На каком из рисунков (рис 9.7) представлено соотношение следующих событий:

A: в забеге будет установлен рекорд России;

B: в забеге будет установлен олимпийский рекорд;

C: в забеге будет установлен мировой рекорд?

(1)

A B C

(2)

B C A

Рис. 9.7

Для решения этой задачи необходимо проанализировать взаимосвязь между тремя событиями:

A: в забеге будет установлен рекорд России.

B: в забеге будет установлен олимпийский рекорд.

C: в забеге будет установлен мировой рекорд.

Рассмотрим логические следствия этих событий. Рекорды представляют собой лучшие результаты (например, наименьшее время в забеге). Иерархия рекордов обычно следующая: мировой рекорд является самым высоким достижением, олимпийский рекорд — лучшим результатом на Олимпийских играх, а национальный рекорд — лучшим результатом для конкретной страны.

1. Если в забеге устанавливается мировой рекорд (событие C), это означает, что показан лучший результат в истории. Поскольку забег проходит в рамках Олимпиады, этот результат автоматически становится и лучшим результатом в истории Олимпийских игр. Следовательно, устанавливается и олимпийский рекорд (событие B). Таким образом, наступление события C влечет за собой наступление события B. В терминах теории множеств это означает, что множество исходов C является подмножеством множества исходов B: $C \subset B$.

2. Если устанавливается олимпийский рекорд (событие B), это значит, что показан лучший результат в истории Олимпиад. В большинстве видов спорта олимпийские рекорды превосходят национальные рекорды. В рамках данной задачи логично предположить, что олимпийский рекорд лучше рекорда России. Таким образом, если установлен новый олимпийский рекорд, то он также является и новым рекордом России (событие A). Следовательно, наступление события B влечет за собой наступление события A: $B \subset A$.

3. Объединяя эти два следствия, мы получаем цепочку вложенности событий: если происходит событие C, то обязательно происходит и событие B, а если происходит событие B, то обязательно происходит и событие A. Это можно записать в виде соотношения вложенности множеств: $C \subset B \subset A$.

Такое соотношение, где одно множество полностью содержится в другом, которое, в свою очередь, содержится в третьем, изображено на диаграмме Эйлера-Венна под номером 1.

Ответ: Рисунок 1.

957 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

В коробке 3 красных, 3 белых и 3 чёрных шара, одинаковые на ощупь. Из коробки вынимают наугад $n$ шаров. Рассмотрим следующее событие $A$: среди вынутых шаров окажутся шары всех трёх цветов. При каких значениях $n$ событие $A$ — невозможное, а при каких — достоверное?

Всего в коробке $3 + 3 + 3 = 9$ шаров. Событие А заключается в том, что среди $n$ вынутых шаров есть шары всех трёх цветов, то есть как минимум один красный, один белый и один чёрный.

При каких значениях $n$ событие A — невозможное

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти ни при каких обстоятельствах. Чтобы среди вынутых шаров оказались шары всех трёх цветов, необходимо вынуть как минимум 3 шара (по одному каждого цвета). Если вынуть меньшее количество шаров, то физически невозможно иметь шары трёх разных цветов.
Если $n=1$, мы вынем шар только одного цвета.
Если $n=2$, мы можем вынуть шары одного или двух цветов, но никак не трёх.
Следовательно, при $n < 3$ событие А является невозможным.
Ответ: при $n=1$ и $n=2$.

а при каких — достоверное?

Достоверное событие — это событие, которое произойдёт со 100%-й вероятностью. Чтобы определить, при каком $n$ это событие станет достоверным, нужно рассмотреть наихудший возможный сценарий.
Наихудший случай для наступления события А — это когда мы последовательно вынимаем все шары сначала одного цвета, потом все шары другого цвета.
Допустим, мы сначала вынимаем все 3 красных шара. Затем мы вынимаем все 3 белых шара. К этому моменту мы вынули $3 + 3 = 6$ шаров, но у нас есть шары только двух цветов (красного и белого). Таким образом, при $n=6$ событие А ещё не является достоверным.
Однако, когда мы будем вынимать следующий, 7-й шар, в коробке останутся только чёрные шары. Значит, 7-й шар гарантированно будет чёрным. В итоге у нас на руках окажется как минимум 3 красных, 3 белых и 1 чёрный шар, то есть шары всех трёх цветов.
Следовательно, при $n=7$ событие А становится достоверным. Если оно достоверно для $n=7$, оно также будет достоверно и для любого большего количества шаров, то есть для $n=8$ и $n=9$.
Ответ: при $n=7$, $n=8$ и $n=9$.