Номер 954, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.1. Случайные события. Глава 9. Частота и вероятность - номер 954, страница 260.

954 Сравните шансы событий:

A: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать ровно 3 номера;

B: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать хотя бы 3 номера.

Чтобы сравнить шансы событий A и B, необходимо найти и сравнить их вероятности. Вероятность события по классическому определению равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число исходов $n$. В лотерее «Спортлото 6 из 49» разыгрывается 6 номеров из 49. Общее число возможных комбинаций из 6 номеров, которые могут выпасть, равно числу сочетаний из 49 по 6:

$n = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13\,983\,816$.

A: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать ровно 3 номера;

Найдем число исходов $m_A$, благоприятствующих событию A. Для этого в выбранном билете должны оказаться 3 номера из 6 выигрышных и, соответственно, 3 номера из $49 - 6 = 43$ невыигрышных.Число способов выбрать 3 выигрышных номера из 6 равно $C_6^3$.Число способов выбрать 3 невыигрышных номера из 43 равно $C_{43}^3$.Используя правило умножения в комбинаторике, получаем число благоприятных исходов:

$m_A = C_6^3 \times C_{43}^3 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{43!}{3!40!} = 20 \times \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{6} = 20 \times 12\,341 = 246\,820$.

Таким образом, вероятность события A равна: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{246\,820}{13\,983\,816}$.

B: в лотерее «Спортлото 6 из 49» угадать хотя бы 3 номера.

Событие B означает, что угадано 3, 4, 5 или 6 номеров. Это объединение четырех несовместных (взаимоисключающих) событий. Поэтому число благоприятствующих исходов $m_B$ равно сумме исходов для каждого случая.

Случай 1: угадано ровно 3 номера. Число исходов $m_3 = C_6^3 \times C_{43}^3 = 246\,820$.
Случай 2: угадано ровно 4 номера (4 из 6 выигрышных и 2 из 43 невыигрышных).
$m_4 = C_6^4 \times C_{43}^2 = \frac{6!}{4!2!} \times \frac{43!}{2!41!} = 15 \times 903 = 13\,545$.
Случай 3: угадано ровно 5 номеров (5 из 6 выигрышных и 1 из 43 невыигрышных).
$m_5 = C_6^5 \times C_{43}^1 = 6 \times 43 = 258$.
Случай 4: угадано ровно 6 номеров (все 6 из 6 выигрышных).
$m_6 = C_6^6 \times C_{43}^0 = 1 \times 1 = 1$.

Суммарное число благоприятствующих исходов для события B:

$m_B = m_3 + m_4 + m_5 + m_6 = 246\,820 + 13\,545 + 258 + 1 = 260\,624$.

Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{260\,624}{13\,983\,816}$.

Для окончательного ответа сравним шансы (вероятности) этих двух событий. Это можно сделать как логически, так и численно.

Логически: Событие B "угадать хотя бы 3 номера" включает в себя событие A "угадать ровно 3 номера", а также другие возможные события (угадать 4, 5 или 6 номеров). Так как $B$ является объединением события $A$ и других событий с ненулевой вероятностью, то вероятность $P(B)$ обязательно будет больше вероятности $P(A)$.

Численно: Сравним полученные вероятности: $P(A) = \frac{246\,820}{13\,983\,816}$ и $P(B) = \frac{260\,624}{13\,983\,816}$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, достаточно сравнить их числители: $246\,820 < 260\,624$. Следовательно, $P(A) < P(B)$.

Ответ: Шансы события B (угадать хотя бы 3 номера) выше, чем шансы события A (угадать ровно 3 номера).