Страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

948 Бросают игральный кубик. Сравните шансы наступления со- бытий:

A: выпадет три очка;

B: выпадет не три очка;

C: выпадет больше трёх очков;

D: выпадет меньше трёх очков.

Для того чтобы сравнить шансы наступления событий, необходимо найти вероятность каждого из них. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Таким образом, общее число равновозможных исходов при одном броске равно 6.

A: выпадет три очка;
Данному событию благоприятствует только один исход — выпадение грани с числом 3. Количество благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{1}{6}$
Ответ: Шанс наступления события A равен $\frac{1}{6}$.

B: выпадет не три очка;
Данному событию благоприятствуют все исходы, кроме выпадения тройки. Это исходы: 1, 2, 4, 5, 6. Количество благоприятных исходов $m=5$.
Вероятность события B:
$P(B) = \frac{5}{6}$
Ответ: Шанс наступления события B равен $\frac{5}{6}$.

C: выпадет больше трёх очков;
Данному событию благоприятствуют исходы, при которых выпадает число очков больше 3. Это исходы: 4, 5, 6. Количество благоприятных исходов $m=3$.
Вероятность события C:
$P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: Шанс наступления события C равен $\frac{1}{2}$.

D: выпадет меньше трёх очков.
Данному событию благоприятствуют исходы, при которых выпадает число очков меньше 3. Это исходы: 1, 2. Количество благоприятных исходов $m=2$.
Вероятность события D:
$P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: Шанс наступления события D равен $\frac{1}{3}$.

Сравнение шансов
Мы получили следующие вероятности (шансы) для каждого события:
$P(A) = \frac{1}{6}$
$P(B) = \frac{5}{6}$
$P(C) = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
$P(D) = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$
Теперь расположим эти дроби в порядке возрастания:
$\frac{1}{6} < \frac{2}{6} < \frac{3}{6} < \frac{5}{6}$
Это означает, что соотношение между вероятностями событий следующее:
$P(A) < P(D) < P(C) < P(B)$
Ответ: Шансы событий в порядке возрастания: наименее вероятно событие A (выпадет три очка), затем событие D (выпадет меньше трёх очков), затем событие C (выпадет больше трёх очков) и, наконец, наиболее вероятно событие B (выпадет не три очка).

949 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Вам предстоит выполнять тест по математике. Исходя из своего опыта, оцените шансы следующих событий:

A: я не сделаю ни одной ошибки;

B: я сделаю хотя бы одну ошибку;

C: я получу двойку;

D: никто в классе не получит пятёрку.

Дополните утверждение: «Событие ... более вероятно, чем событие ...».

Поскольку задача просит оценить шансы, исходя из своего опыта, ответ будет субъективным. Он зависит от уровня подготовки ученика, сложности предстоящего теста и общего уровня подготовки класса. Будем рассуждать с позиции ученика, который хорошо готовился к тесту и в целом успевает по математике.

Это событие означает идеальное выполнение работы. Для хорошо подготовленного ученика это возможно, особенно если тест не содержит заданий повышенной сложности. Однако всегда существует вероятность случайной ошибки из-за невнимательности, неправильно понятого условия или арифметического просчета. Поэтому, хотя такое событие и возможно, его вероятность не очень высока.

Ответ: маловероятное, но возможное событие.

Это событие является противоположным (дополнительным) к событию A. Если не сделать ни одной ошибки (событие A) достаточно сложно, то сделать хотя бы одну ошибку (незначительную или серьезную) — гораздо проще. Вероятности этих двух событий в сумме дают единицу: $P(A) + P(B) = 1$. Так как событие A маловероятно, то событие B, наоборот, является очень вероятным.

Ответ: очень вероятное событие.

Для ученика, который целенаправленно готовился к тесту и не имеет серьезных пробелов в знаниях, получение неудовлетворительной оценки — это крайне маловероятный исход. Такое может случиться лишь при каких-то форс-мажорных обстоятельствах (например, перепутал вариант или не смог решить ни одной задачи из-за сильного волнения или плохого самочувствия).

Ответ: практически невозможное событие.

Вероятность этого события зависит не от одного ученика, а от всех учеников в классе. Если тест стандартный, а в классе есть несколько сильных учеников, то шанс, что хотя бы один из них получит «отлично», довольно высок. Чтобы наступило событие D, необходимо, чтобы абсолютно все ученики, претендующие на пятерку, допустили ошибки. Это возможно, если тест окажется неожиданно сложным, но в обычной ситуации вероятность этого события не слишком велика. Скорее всего, она ниже, чем вероятность события B (сделать хотя бы одну ошибку лично для меня).

Ответ: маловероятное событие.

Дополните утверждение: «Событие ... более вероятно, чем событие ...».

Исходя из проведенного анализа, мы можем сравнить вероятности наступления этих событий. Наиболее очевидное и логичное сравнение — это сравнение вероятностей противоположных событий A и B. Сделать хотя бы одну ошибку (событие B) почти всегда вероятнее, чем не сделать ни одной (событие A).

Ответ: «Событие B более вероятно, чем событие A».

950 РАССУЖДАЕМ

Перед футбольным матчем «Спартак» — «Динамо» болельщики обсуждают шансы событий:

$A$: будет ничья;

$B$: не будет забито ни одного мяча;

$C$: «Спартак» не выиграет;

$D$: «Спартак» выиграет.

Изобразите с помощью кругов Эйлера, как эти события соотносятся друг с другом.

Подсказка. Начните с противоположных событий.

Для того чтобы изобразить соотношение между указанными событиями с помощью кругов Эйлера, необходимо проанализировать логические связи между ними. Воспользуемся подсказкой и начнем с анализа противоположных событий.

Анализ событий C и D

Событие C: «Спартак» не выиграет и событие D: «Спартак» выиграет являются противоположными (взаимодополняющими). Это значит, что по итогу матча обязательно произойдет одно из этих двух событий, и они не могут произойти одновременно. Все возможные исходы матча делятся на эти две категории. В терминах теории множеств, если $U$ — это множество всех возможных исходов, то объединение множеств C и D равно $U$, а их пересечение пусто: $C \cup D = U$ и $C \cap D = \emptyset$. На диаграмме Эйлера это будет выглядеть как всё пространство исходов (например, прямоугольник), разделенное на две непересекающиеся области — C и D.

Анализ события A

Событие A: будет ничья. Исход "ничья" является одним из возможных вариантов, когда «Спартак» не выигрывает. Таким образом, событие A является частным случаем события C. Это означает, что множество исходов, составляющих событие A, полностью содержится в множестве исходов C. Математически это записывается как $A \subset C$. На диаграмме область A будет целиком расположена внутри области C.

Анализ события B

Событие B: не будет забито ни одного мяча. Этот исход соответствует счёту 0:0. Счёт 0:0 — это, безусловно, ничья. Следовательно, событие B является частным случаем события A. Множество B является подмножеством множества A: $B \subset A$. На диаграмме область B будет целиком расположена внутри области A.

Итоговое соотношение и описание диаграммы Эйлера

Собрав все установленные связи воедино, мы получаем следующую цепочку вложенности событий: $B \subset A \subset C$. При этом событие D является дополнением к C.

Диаграмма, иллюстрирующая эти отношения, будет выглядеть следующим образом:

• Представим всё пространство возможных исходов матча в виде большого прямоугольника.
• Этот прямоугольник делится на две непересекающиеся области: область D («Спартак» выиграет) и область C («Спартак» не выиграет).
• Внутри области C расположена меньшая область (круг) A (будет ничья). Часть области C, находящаяся за пределами A, соответствует исходу «„Спартак“ проиграет».
• Внутри области A, в свою очередь, расположена еще меньшая область (круг) B (счёт 0:0). Часть области A за пределами B соответствует исходу «ничья, при которой были забиты мячи» (например, 1:1, 2:2 и т.д.).

Таким образом, мы получаем диаграмму с тремя вложенными друг в друга областями (B внутри A, A внутри C), и отдельной областью D, которая вместе с C покрывает всё пространство исходов.

Ответ: Соотношение событий изображается с помощью диаграммы Эйлера, где множество B (не забито ни одного мяча) является подмножеством множества A (ничья); множество A является подмножеством множества C («Спартак» не выиграет); множество C и множество D («Спартак» выиграет) не пересекаются и в объединении составляют всё пространство возможных исходов. Математически: $B \subset A \subset C$ и $C \cap D = \emptyset$.

951 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Найдите в литературе, периодической печати, Интернете информацию о ситуациях, когда важно прогнозировать некоторое событие, оценивать шансы его наступления.

Прогнозирование событий и оценка шансов их наступления играют критически важную роль во многих сферах человеческой деятельности. Умение предвидеть будущее на основе анализа данных позволяет принимать более обоснованные решения, минимизировать риски и использовать возможности. Ниже приведены примеры таких ситуаций из различных областей.

Метеорология

Прогноз погоды — один из самых известных примеров ежедневного прогнозирования. Метеорологи собирают огромные объемы данных о температуре, давлении, влажности, скорости ветра со спутников, радаров и наземных станций. На основе этих данных с помощью сложных математических моделей они прогнозируют погоду. Оценка вероятности осадков, ураганов, заморозков или засухи имеет огромное значение для сельского хозяйства (планирование посевных и уборочных работ), транспорта (безопасность авиаперелетов и морских перевозок), энергетики (прогнозирование нагрузки на сети) и служб спасения (предупреждение о стихийных бедствиях). Часто прогнозы даются в вероятностной форме, например, «вероятность дождя 30%», что помогает людям и организациям планировать свою деятельность с учетом неопределенности.

Ответ: Прогнозирование погоды необходимо для обеспечения безопасности людей, эффективного планирования в сельском хозяйстве, транспорте и многих других отраслях экономики.

Медицина

В медицине оценка вероятностей используется постоянно. Когда врач ставит диагноз, он оценивает вероятность наличия определенного заболевания на основе симптомов и результатов анализов. При назначении лечения оцениваются шансы на успех и риск побочных эффектов. Например, на основе данных клинических испытаний можно утверждать, что определенный препарат эффективен в 85% случаев. В генетике рассчитывают вероятность передачи наследственных заболеваний. В эпидемиологии моделируют скорость распространения инфекций, чтобы вовремя вводить карантинные меры. Вероятностные оценки помогают принимать жизненно важные решения как врачам, так и пациентам.

Ответ: В медицине оценка шансов помогает ставить точные диагнозы, выбирать оптимальное лечение и прогнозировать исход заболевания, что напрямую влияет на здоровье и жизнь человека.

Финансы и экономика

Вся финансовая сфера построена на прогнозировании и оценке рисков. Инвесторы пытаются предсказать, вырастут или упадут акции, чтобы получить прибыль. Банки оценивают кредитоспособность заемщика — вероятность того, что он вернет долг, — и на основе этой оценки определяют условия кредита. Экономисты строят модели для прогнозирования инфляции, роста ВВП и уровня безработицы, что помогает правительствам и центральным банкам формировать экономическую политику. В основе многих финансовых инструментов лежат сложные вероятностные модели, позволяющие управлять рисками и капиталом.

Ответ: Прогнозирование событий на финансовых рынках и в экономике в целом является основой для принятия инвестиционных решений, управления рисками и разработки государственной экономической политики.

Страхование

Страховой бизнес напрямую зависит от точной оценки вероятностей. Чтобы рассчитать стоимость страхового полиса (например, ОСАГО или страхования жизни), страховые компании (актуарии) анализируют статистику и вычисляют вероятность наступления страхового случая — аварии, болезни, пожара и т.д. Вероятность рассчитывается для больших групп людей со схожими характеристиками. Размер страховой премии должен быть таким, чтобы собранных средств хватило на выплаты всем, у кого произошел страховой случай, а также на покрытие расходов компании и получение прибыли. В основе лежит теория вероятностей и закон больших чисел, который гласит, что средний результат большого числа случайных событий предсказуем. Формула вероятности события $A$ часто определяется как отношение числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$.

Ответ: В страховании точная оценка вероятности наступления неблагоприятного события является ключевым фактором для расчета справедливых страховых тарифов и обеспечения финансовой стабильности компании.

Техника и инженерия

При проектировании сложных и потенциально опасных объектов, таких как самолеты, атомные электростанции или мосты, инженеры обязаны оценивать вероятность отказа различных узлов и систем. Эта область называется теорией надежности. Расчет шансов на отказ помогает создавать более безопасные конструкции, вводить резервные системы и определять графики технического обслуживания и замены деталей. Например, прогнозирование износа оборудования (предиктивное обслуживание) позволяет заменять детали не по графику, а незадолго до их вероятной поломки, что экономит средства и предотвращает аварии.

Ответ: Оценка вероятности отказов в инженерии критически важна для обеспечения безопасности, надежности и долговечности технических систем и сооружений.

Б

952 Вы выигрываете, если стрелка останавливается на белом поле. Какая из вертушек, изображённых на рисунке 9.6, даёт вам больше шансов на выигрыш?

Рис. 9.6

Чтобы определить, какая из вертушек даёт больше шансов на выигрыш, необходимо для каждой из них вычислить вероятность остановки стрелки на белом поле. Вероятность события вычисляется как отношение площади выигрышных секторов к общей площади круга. Поскольку в каждой вертушке все секторы имеют одинаковый размер, можно просто сосчитать количество секторов.

Вертушка 1

Круг разделен на 4 равных сектора. Из них 3 сектора белые (выигрышные) и 1 сектор закрашен. Шанс на выигрыш (вероятность) $P_1$ равен отношению числа белых секторов к общему числу секторов.

$P_1 = \frac{3}{4}$

Вертушка 2

Этот круг также разделен на 4 равных сектора, из которых 3 — белые. Хотя эта вертушка больше по размеру, соотношение площадей белых и закрашенных секторов такое же, как и у первой вертушки. Поэтому вероятность выигрыша $P_2$ здесь также равна $\frac{3}{4}$.

$P_2 = \frac{3}{4}$

Вертушка 3

Этот круг разделен на 8 равных секторов. Из них 4 сектора являются белыми, а остальные 4 закрашены. Вероятность выигрыша $P_3$ для этой вертушки составляет:

$P_3 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Сравнение шансов

Теперь сравним полученные вероятности выигрыша для каждой вертушки:

• $P_1 = \frac{3}{4}$
• $P_2 = \frac{3}{4}$
• $P_3 = \frac{1}{2}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 4:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$

Таким образом, мы имеем $P_1 = \frac{3}{4}$, $P_2 = \frac{3}{4}$ и $P_3 = \frac{2}{4}$.

Поскольку $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$, вертушки 1 и 2 дают больше шансов на выигрыш, чем вертушка 3. Шансы для вертушек 1 и 2 одинаковы.

Ответ: Вертушки 1 и 2 дают наибольшие шансы на выигрыш. Эти шансы равны между собой.