Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Приведите по три примера достоверных и невозможных событий, а также событий, о которых нельзя сказать, что они обязательно произойдут или обязательно не произойдут.

Достоверные события

Это события, которые в результате опыта или наблюдения обязательно произойдут. Вероятность достоверного события равна 1, то есть $P(A) = 1$.

1. После понедельника наступает вторник.
2. Вода при температуре ниже $0^\circ C$ превращается в лед (при нормальном атмосферном давлении).
3. Из ящика, в котором лежат только белые шары, достали белый шар.

Ответ: приведены три примера достоверных событий.

Невозможные события

Это события, которые в результате опыта или наблюдения заведомо не могут произойти. Вероятность невозможного события равна 0, то есть $P(A) = 0$.

1. При броске стандартного игрального кубика с шестью гранями (пронумерованными от 1 до 6) выпало число 7.
2. В треугольнике с углами $90^\circ$ и $60^\circ$ третий угол равен $40^\circ$.
3. Человек научился дышать под водой без специальных приспособлений.

Ответ: приведены три примера невозможных событий.

События, о которых нельзя сказать, что они обязательно произойдут или обязательно не произойдут

Такие события называют случайными. Они могут как произойти, так и не произойти в результате опыта. Вероятность случайного события больше 0, но меньше 1, то есть $0 < P(A) < 1$.

1. При подбрасывании монеты выпадет "решка".
2. Купленный лотерейный билет окажется выигрышным.
3. Завтра будет солнечная погода.

Ответ: приведены три примера событий, которые не являются ни достоверными, ни невозможными.

Назовите все значения выпавших очков, при которых произойдет событие

А: при бросании игрального кубика выпало не менее пяти очков.

Событие A, о котором идет речь в задаче, наступает в том случае, если при броске стандартного игрального кубика выпадает «не менее пяти очков».

Стандартный игральный кубик имеет шесть граней, пронумерованных от 1 до 6. Следовательно, множество всех возможных исходов (выпавших очков) при одном броске кубика равно $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Условие «не менее пяти очков» означает, что количество выпавших очков должно быть равно 5 или больше 5. Обозначим количество выпавших очков переменной $x$. Тогда это условие можно записать в виде математического неравенства: $x \ge 5$.

Для решения задачи нужно найти все числа из множества возможных исходов $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 5$.

Проверим каждый возможный исход:
Значение 1 не удовлетворяет условию, так как $1 < 5$.
Значение 2 не удовлетворяет условию, так как $2 < 5$.
Значение 3 не удовлетворяет условию, так как $3 < 5$.
Значение 4 не удовлетворяет условию, так как $4 < 5$.
Значение 5 удовлетворяет условию, так как $5 = 5$.
Значение 6 удовлетворяет условию, так как $6 > 5$.

Таким образом, событие A произойдет только в тех случаях, когда на кубике выпадет 5 или 6 очков.

Ответ: 5, 6.

Какое событие при бросании игрального кубика более вероятно:

А: выпало не менее пяти очков; В: выпало более пяти очков?

Чтобы определить, какое из двух событий более вероятно, необходимо найти и сравнить их вероятности. Вероятность события находится по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — это число исходов, благоприятствующих событию, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

При бросании стандартного игрального кубика всего возможно 6 равновероятных исходов (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), поэтому общее число исходов $n=6$.

A: выпало не менее пяти очков

Событие A наступает, если количество выпавших очков равно 5 или больше. Этому условию соответствуют два исхода: выпадение 5 и выпадение 6.
Следовательно, число благоприятных исходов для события A равно $m_A = 2$.
Вероятность события A составляет: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

B: выпало более пяти очков

Событие B наступает, если количество выпавших очков строго больше 5. Этому условию соответствует только один исход: выпадение 6.
Следовательно, число благоприятных исходов для события B равно $m_B = 1$.
Вероятность события B составляет: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{1}{6}$.

Сравнение вероятностей

Теперь сравним вероятности этих двух событий:
$P(A) = \frac{1}{3}$ и $P(B) = \frac{1}{6}$.
Поскольку $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, а $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$, то $P(A) > P(B)$.
Это означает, что событие A имеет большую вероятность наступления, чем событие B. Его также можно было определить, сравнив количество благоприятных исходов (2 для события А против 1 для события В), так как общее число исходов для них одинаково.

Ответ: Событие A (выпало не менее пяти очков) более вероятно.

Приведите пример равновероятных событий при бросании игрального кубика.

Равновероятными называются события, имеющие одинаковую вероятность наступления. При бросании стандартного игрального кубика (правильной, однородной кости с 6 гранями, пронумерованными от 1 до 6) существует 6 возможных элементарных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Так как кубик считается "честным", все эти 6 исходов равновероятны.

Вероятность любого события A можно рассчитать по классической формуле вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A. В данном случае $n = 6$.

Пример 1: Элементарные события

Простейшим примером равновероятных событий являются сами элементарные исходы броска. Рассмотрим два события:

• Событие A: «выпало 1 очко». Число благоприятствующих исходов $m_A = 1$. Вероятность $P(A) = 1/6$.
• Событие B: «выпало 5 очков». Число благоприятствующих исходов $m_B = 1$. Вероятность $P(B) = 1/6$.

Поскольку $P(A) = P(B)$, эти события являются равновероятными. Аналогично, выпадение любого конкретного числа очков (1, 2, 3, 4, 5 или 6) — это равновероятные события.

Ответ: События «выпало 1 очко», «выпало 2 очка», «выпало 3 очка», «выпало 4 очка», «выпало 5 очков», «выпало 6 очков» являются равновероятными.

Пример 2: Составные события

Можно составить более сложные события, которые также будут равновероятными. Рассмотрим два события:

• Событие C: «выпало четное число очков». Благоприятствующие исходы: {2, 4, 6}. Число благоприятствующих исходов $m_C = 3$. Вероятность $P(C) = 3/6 = 1/2$.
• Событие D: «выпало нечетное число очков». Благоприятствующие исходы: {1, 3, 5}. Число благоприятствующих исходов $m_D = 3$. Вероятность $P(D) = 3/6 = 1/2$.

Так как $P(C) = P(D) = 1/2$, события C и D являются равновероятными.

Ответ: Событие «выпало четное число очков» и событие «выпало нечетное число очков» являются равновероятными.

Пример 3: Другие составные события

Приведем еще один пример равновероятных составных событий. Рассмотрим два события:

• Событие E: «выпало число очков, меньшее 3». Благоприятствующие исходы: {1, 2}. Число благоприятствующих исходов $m_E = 2$. Вероятность $P(E) = 2/6 = 1/3$.
• Событие F: «выпало число очков, большее 4». Благоприятствующие исходы: {5, 6}. Число благоприятствующих исходов $m_F = 2$. Вероятность $P(F) = 2/6 = 1/3$.

Вероятности этих событий равны, $P(E) = P(F) = 1/3$, следовательно, события E и F равновероятны.

Ответ: Событие «выпало число очков, меньшее 3» и событие «выпало число очков, большее 4» являются равновероятными.

Назовите событие, противоположное событию $C$ из примера 1. Сравните шансы этих событий.

Поскольку в задании не приводится содержание "примера 1", мы сделаем разумное предположение о его содержании, чтобы дать развернутый ответ. Наиболее частый пример в задачах по теории вероятностей — это эксперимент с бросанием игрального кубика.

Пусть эксперимент из примера 1 заключается в однократном бросании стандартного шестигранного игрального кубика. Множество всех элементарных исходов (результатов) равно ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

Пусть событие C, упомянутое в задании, заключается в том, что "выпало чётное число очков". Этому событию соответствуют исходы ${2, 4, 6}$.

Назовите событие, противоположное событию C из примера 1.
Противоположным событием (или дополнением) для события $C$ является событие $\bar{C}$, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $C$. Это означает, что событию $\bar{C}$ соответствуют все исходы, которые не входят в событие $C$.
Если событие $C$ — это "выпало чётное число очков" (исходы ${2, 4, 6}$), то противоположное событие $\bar{C}$ будет "не выпало чётное число очков". В контексте игрального кубика это равносильно тому, что "выпало нечётное число очков". Этому событию соответствуют исходы ${1, 3, 5}$.

Ответ: Событие, противоположное событию C ("выпало чётное число очков"), — это событие $\bar{C}$ ("выпало нечётное число очков").

Сравните шансы этих событий.
Шансы события принято оценивать его вероятностью. Вероятность события по классическому определению вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.
В нашем эксперименте общее число равновозможных исходов $n = 6$.

1. Шансы (вероятность) события $C$:
Событию $C$ ("выпало чётное число очков") благоприятствуют 3 исхода: ${2, 4, 6}$. Таким образом, $m_C = 3$. Вероятность события $C$ равна: $P(C) = \frac{m_C}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Шансы (вероятность) события $\bar{C}$:
Событию $\bar{C}$ ("выпало нечётное число очков") благоприятствуют также 3 исхода: ${1, 3, 5}$. Таким образом, $m_{\bar{C}} = 3$. Вероятность события $\bar{C}$ равна: $P(\bar{C}) = \frac{m_{\bar{C}}}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
(Также можно было использовать свойство противоположных событий: $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$)

Сравнение:
Сравнивая полученные вероятности, видим, что $P(C) = P(\bar{C})$. Это означает, что шансы наступления этих двух событий абсолютно одинаковы.

Ответ: Шансы (вероятности) этих событий равны: $P(C) = P(\bar{C}) = \frac{1}{2}$.

Изобразите отношение событий $C$ и $D$ из примера 1 с помощью кругов Эйлера.

Для того чтобы изобразить отношение между событиями C и D с помощью кругов Эйлера, необходимо знать точные определения этих событий из "примера 1", который в самом вопросе не предоставлен. Отношение между событиями может быть разным, и, соответственно, диаграмма Эйлера будет выглядеть по-разному.

Рассмотрим наиболее общий и показательный случай на основе классического эксперимента — однократного броска игральной кости.

Пусть $\Omega$ — это пространство всех элементарных исходов (все возможные результаты): $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Определим события C и D следующим образом:

• Событие C: "выпало четное число очков". Этому событию соответствует множество исходов $C = \{2, 4, 6\}$.
• Событие D: "выпало число очков, большее 3". Этому событию соответствует множество исходов $D = \{4, 5, 6\}$.

Теперь проанализируем отношение между этими событиями. Для этого найдем их пересечение, то есть множество исходов, которые входят и в C, и в D.

$C \cap D = \{2, 4, 6\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4, 6\}$

Так как пересечение событий не пусто ($C \cap D \neq \emptyset$), события C и D являются совместными (могут произойти одновременно). В то же время, ни одно из них не является частным случаем другого (т.е. ни $C \subset D$, ни $D \subset C$), поскольку в событии C есть исход '2', которого нет в D, а в событии D есть исход '5', которого нет в C.

Такое отношение на диаграмме Эйлера изображается в виде двух пересекающихся кругов, расположенных внутри прямоугольника, который символизирует все пространство исходов $\Omega$.

• Область пересечения кругов ($C \cap D$) содержит исходы, общие для обоих событий: $\{4, 6\}$.
• Часть круга C, не входящая в D ($C \setminus D$), содержит исходы, принадлежащие только C: $\{2\}$.
• Часть круга D, не входящая в C ($D \setminus C$), содержит исходы, принадлежащие только D: $\{5\}$.
• Область вне обоих кругов ($\Omega \setminus (C \cup D)$) содержит исходы, не входящие ни в C, ни в D: $\{1, 3\}$.

Ниже представлена соответствующая диаграмма Эйлера, иллюстрирующая это отношение.

Ответ: Так как в задании не указаны конкретные условия для событий C и D из "примера 1", для демонстрации было выбрано их наиболее общее отношение — совместные, но не вложенные друг в друга события. Такое отношение изображается с помощью двух пересекающихся кругов Эйлера. Пересекающаяся область символизирует возможность одновременного наступления обоих событий.

938 Какие из перечисленных событий достоверные, невозможные:

а) вас пригласят сниматься в кино;

б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

в) день рождения одного из ваших знакомых — 30 февраля;

г) вы выиграете, участвуя в лотерее;

д) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

е) после четверга будет пятница;

ж) после пятницы будет четверг?

Для решения задачи необходимо классифицировать каждое событие как достоверное, невозможное или случайное. Достоверным называют событие, которое произойдет со стопроцентной вероятностью ($P=1$). Невозможным — событие, которое не может произойти ни при каких условиях ($P=0$). Случайным — событие, которое может произойти, а может и не произойти (его вероятность $P$ находится в интервале $0 < P < 1$). Проанализируем каждое из перечисленных событий.

а) вас пригласят сниматься в кино;

Это событие не является ни гарантированным, ни полностью исключенным. Оно может произойти, а может и не произойти, в зависимости от множества факторов. Таким образом, это случайное событие.
Ответ: случайное событие.

б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

Закипание воды в чайнике на плите зависит от внешних условий, не упомянутых в задаче: включена ли плита, есть ли источник энергии (газ, электричество), не будет ли процесс прерван и т.д. Поскольку исход не является стопроцентно гарантированным, это событие следует классифицировать как случайное.
Ответ: случайное событие.

в) день рождения одного из ваших знакомых — 30 февраля;

В григорианском календаре, который используется повсеместно, в феврале не бывает 30-го числа. Максимальное количество дней в феврале — 29 (в високосный год). Следовательно, никто не может родиться 30 февраля. Это событие абсолютно невозможно.
Ответ: невозможное событие.

г) вы выиграете, участвуя в лотерее;

Лотерея по своей сути является игрой случая. Существует вероятность выигрыша, но она не равна 100%. Также существует вероятность проигрыша. Поэтому выигрыш в обычной лотерее — это случайное событие.
Ответ: случайное событие.

д) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

Термин «беспроигрышная лотерея» означает, что проигравших в ней нет, то есть каждый участник обязательно что-то выигрывает. По условию, участие в такой лотерее гарантирует выигрыш. Это достоверное событие.
Ответ: достоверное событие.

е) после четверга будет пятница;

Дни недели следуют друг за другом в строгой, неизменной последовательности. После четверга всегда наступает пятница. Это установленный факт, который не может измениться. Это достоверное событие.
Ответ: достоверное событие.

ж) после пятницы будет четверг?

Согласно принятому порядку следования дней недели, после пятницы наступает суббота, а не четверг. Поэтому событие, при котором после пятницы наступит четверг, является невозможным.
Ответ: невозможное событие.

939 В коробке лежат 10 красных, одна зелёная и две синие ручки. Из коробки наугад вынимают две ручки. Какие из следующих событий невозможные, достоверные:

A: будут вынуты две красные ручки;

B: будут вынуты две зелёные ручки;

C: будут вынуты две синие ручки;

D: будут вынуты две ручки разных цветов;

E: будут вынуты два карандаша?

Для определения типа каждого события (невозможное, достоверное или случайное) проанализируем его исходя из содержимого коробки: 10 красных, 1 зелёная и 2 синие ручки. Всего в коробке $10 + 1 + 2 = 13$ ручек.

A: будут вынуты две красные ручки; В коробке находится 10 красных ручек. Поскольку количество красных ручек больше, чем количество вынимаемых ручек ($10 \ge 2$), то такое событие может произойти. Однако оно не является гарантированным (достоверным), так как можно вынуть ручки других цветов. Следовательно, это случайное событие. Ответ: случайное событие.

B: будут вынуты две зелёные ручки; В коробке есть только одна зелёная ручка. Невозможно вынуть две зелёные ручки, если в наличии имеется всего одна ($1 < 2$). Это событие не может произойти ни при каких обстоятельствах. Ответ: невозможное событие.

C: будут вынуты две синие ручки; В коробке лежат ровно две синие ручки. Так как их количество равно двум ($2 \ge 2$), вынуть их обе возможно. Но это событие не является достоверным, потому что с той же вероятностью можно вынуть и другие ручки. Следовательно, это случайное событие. Ответ: случайное событие.

D: будут вынуты две ручки разных цветов; Это событие произойдёт, если вынуть, например, одну красную и одну зелёную ручку, что возможно. Однако событие не является достоверным, так как можно вынуть и две ручки одного цвета (например, две красные или две синие). Следовательно, это случайное событие. Ответ: случайное событие.

E: будут вынуты два карандаша? В условии задачи чётко указано, что в коробке лежат только ручки. Карандашей в коробке нет. Поэтому вынуть из неё два карандаша физически невозможно. Ответ: невозможное событие.

940 Ваня и Дима решают с помощью вертушки (рис. 9.4), как им провести воскресенье: если стрелка остановится на белом поле, они пойдут в кино; если на цветном — на стадион. Какое из событий вероятнее: ребята пойдут на стадион или в кино? Нарисуйте какую-нибудь вертушку, которая даёт равные шансы.

Рис. 9.4

Чтобы определить, какое событие вероятнее, нужно сравнить шансы выпадения белого и цветного полей на вертушке, изображенной на рисунке 9.4.

Вертушка разделена на 8 одинаковых по размеру секторов. Посчитаем, сколько секторов каждого цвета:
• Белых секторов (поход в кино): 5.
• Цветных секторов (поход на стадион): 3.

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Вероятность пойти в кино: $P(\text{кино}) = \frac{5}{8}$.
Вероятность пойти на стадион: $P(\text{стадион}) = \frac{3}{8}$.

Сравнивая полученные вероятности, видим, что $ \frac{5}{8} > \frac{3}{8} $. Это означает, что выпадение белого сектора является более вероятным событием.

Ответ: Вероятнее, что ребята пойдут в кино.

Для того чтобы шансы были равными, вероятность пойти в кино должна быть равна вероятности пойти на стадион. Это условие выполняется, если общая площадь белых полей равна общей площади цветных полей.

Самый простой способ этого добиться — разделить круг вертушки на две равные части, одну из которых сделать белой, а другую — цветной. Вероятность каждого события будет равна $ \frac{1}{2} $.

Другой вариант, сохраняя деление на 8 секторов, — сделать 4 сектора белыми и 4 цветными.

Ниже представлен рисунок такой вертушки:

Ответ: Вертушка, дающая равные шансы, должна иметь белые и цветные поля одинаковой суммарной площади. Например, круг, разделенный пополам на белый и цветной секторы, или круг, разделенный на 4 белых и 4 цветных равных сектора.

941 Из колоды карт вынимают одну карту.

а) Назовите все случаи, при которых произойдёт событие:

A: вынута карта туз;

B: вынута карта бубновой масти;

C: вынута карта старше дамы.

б) Приведите пример равновероятных событий.

Для решения данной задачи будем исходить из предположения, что используется стандартная игральная колода (например, на 36 карт) с четырьмя мастями (пики, трефы, бубны, червы) и общепринятым старшинством карт (по возрастанию: ..., валет, дама, король, туз).

а) Назовем все случаи (элементарные исходы), при которых произойдут перечисленные события.

• Для события A: вынута карта туз, благоприятными являются случаи, когда из колоды извлекается одна из четырех карт достоинством "туз".
  Случаи: туз пик, туз треф, туз бубен, туз червей.

• Для события B: вынута карта бубновой масти, благоприятными являются случаи, когда извлекается любая карта бубновой масти. В колоде из 36 карт таких карт девять.
  Случаи: 6 бубен, 7 бубен, 8 бубен, 9 бубен, 10 бубен, валет бубен, дама бубен, король бубен, туз бубен.

• Для события C: вынута карта старше дамы, благоприятными являются случаи, когда извлекается карта достоинством "король" или "туз" любой масти.
  Случаи: король пик, король треф, король бубен, король червей, туз пик, туз треф, туз бубен, туз червей.

Ответ:
A: туз пик, туз треф, туз бубен, туз червей.
B (для колоды 36 карт): 6 бубен, 7 бубен, 8 бубен, 9 бубен, 10 бубен, валет бубен, дама бубен, король бубен, туз бубен.
C: король пик, король треф, король бубен, король червей, туз пик, туз треф, туз бубен, туз червей.

б) Равновероятными называются события, которые имеют одинаковую вероятность наступления. Это означает, что каждому из этих событий соответствует одинаковое количество элементарных исходов.

В качестве примера можно привести следующие два события:

Событие D: «вынута карта пиковой масти».
Событие E: «вынута карта червовой масти».

Поскольку в стандартной колоде количество карт каждой масти одинаково (например, 9 карт в 36-карточной колоде), то количество исходов, благоприятствующих событию D, равно количеству исходов, благоприятствующих событию E. Следовательно, их вероятности равны, и события являются равновероятными. Если $k$ — количество карт одной масти, а $N$ — общее число карт в колоде, то их вероятность $P(D) = P(E) = \frac{k}{N}$.

Другой простой пример:

Событие F: «вынут король».
Событие G: «вынута дама».

В колоде 4 короля и 4 дамы. Число благоприятствующих исходов для обоих событий равно 4, поэтому они равновероятны.

Ответ: Событие «вынут король» и событие «вынута дама» являются равновероятными.