Страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Приведите примеры природных явлений, которые можно считать случайными экспериментами.

Случайный эксперимент в теории вероятностей — это процесс или наблюдение, результат которого невозможно предсказать с полной уверенностью до его завершения, однако множество всех возможных результатов (исходов) известно заранее. Многие природные явления идеально подходят под это определение.

1. Прогноз погоды
Наблюдение за погодой в определенной местности в определенный день можно рассматривать как случайный эксперимент.
Эксперимент: Наблюдение за погодными условиями (например, температурой, осадками) в конкретном городе завтра.
Множество исходов: Для осадков это может быть {дождь, снег, град, без осадков}. Для температуры — любое значение в определенном диапазоне.
Случайность: Атмосферные процессы чрезвычайно сложны и хаотичны. Несмотря на развитие метеорологических моделей, точное предсказание погоды на конкретный момент в будущем невозможно. Мы можем лишь оценить вероятность того или иного исхода.
Ответ: Погода является результатом сложного взаимодействия множества факторов, что делает ее точное предсказание невозможным, а наблюдение за ней — случайным экспериментом.

2. Радиоактивный распад
Момент распада отдельного нестабильного атомного ядра — это фундаментально случайное событие.
Эксперимент: Наблюдение за одним нестабильным атомом, например, Урана-238.
Множество исходов: {атом распадется в заданный промежуток времени, атом не распадется в заданный промежуток времени}. Или же исходом может быть точное время жизни атома до момента распада.
Случайность: Согласно законам квантовой механики, невозможно предсказать, когда именно конкретный атом распадется. Мы знаем лишь вероятность распада за определенное время, которая характеризуется периодом полураспада $T_{1/2}$. Для большого количества атомов закон статистически предсказуем, но для одного атома — нет.
Ответ: Радиоактивный распад отдельного атома — это классический пример случайного процесса, описываемого вероятностными законами на квантовом уровне.

3. Определение пола будущего ребенка
В процессе оплодотворения определение биологического пола потомства у многих видов, включая человека, является случайным событием.
Эксперимент: Зачатие ребенка.
Множество исходов: {мальчик (генотип XY), девочка (генотип XX)}.
Случайность: Пол определяется тем, какой сперматозоид (несущий X- или Y-хромосому) оплодотворит яйцеклетку (которая всегда несет X-хромосому). Поскольку сперматозоидов обоих типов вырабатывается примерно одинаковое количество, вероятности этих событий близки: $P(\text{мальчик}) \approx P(\text{девочка}) \approx 0.5$.
Ответ: Определение пола ребенка при зачатии — это природный случайный эксперимент с двумя практически равновероятными исходами.

4. Возникновение генетической мутации
Появление мутаций в генах организма — это случайный процесс, лежащий в основе биологической эволюции.
Эксперимент: Процесс копирования (репликации) ДНК при делении клетки.
Множество исходов: {мутация произошла, мутация не произошла}. Более детально, исходом может быть конкретный тип и местоположение мутации в геноме.
Случайность: Мутации могут возникать из-за случайных ошибок в работе ферментов, отвечающих за копирование ДНК, или под воздействием внешних факторов (мутагенов), действующих случайным образом на молекулу ДНК. Предсказать, возникнет ли мутация в конкретном гене при конкретном делении клетки, невозможно.
Ответ: Генетические мутации являются случайными событиями на молекулярном уровне, которые служат источником генетического разнообразия.

5. Место удара молнии
Процесс формирования электрического разряда в атмосфере и его удар в землю имеет случайный характер.
Эксперимент: Наблюдение за грозой над определенной территорией.
Множество исходов: Координаты $(x, y)$ точки на поверхности, в которую ударит следующая молния. Множеством исходов является вся площадь наблюдаемой территории.
Случайность: Путь, по которому движется разряд молнии, зависит от множества случайных флуктуаций в распределении электрического заряда, влажности и ионизации воздуха. Поэтому точное место удара непредсказуемо, хотя и существуют области с повышенной вероятностью удара (например, высокие объекты).
Ответ: Выбор места удара молнией является случайным природным явлением, которое можно описать с помощью вероятностных моделей.

958 Игральный кубик подбросили 200 раз, при этом 28 раз выпало шесть очков. Найдите частоту события:

A: выпало шесть очков;

B: выпало менее шести очков. (Ответ выразите в процентах.)

A: выпало шесть очков;
Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к общему числу проведенных испытаний.
Пусть $n$ — общее число подбрасываний кубика, а $m_A$ — число выпадений шести очков.
По условию задачи: $n = 200$, $m_A = 28$.
Частота события А (выпало шесть очков) вычисляется по формуле: $W(A) = \frac{m_A}{n}$
Подставим наши значения: $W(A) = \frac{28}{200} = \frac{14}{100} = 0,14$.
Ответ: 0,14

B: выпало менее шести очков. (Ответ выразите в процентах.)
Событие B (выпало менее шести очков) происходит во всех случаях, когда не выпадает шесть очков.
Найдем число испытаний $m_B$, в которых выпало менее шести очков. Это общее число испытаний минус число испытаний, в которых выпало шесть очков:
$m_B = n - m_A = 200 - 28 = 172$.
Теперь найдем частоту события B: $W(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{172}{200} = \frac{86}{100} = 0,86$.
По условию, ответ необходимо выразить в процентах. Для этого умножим полученную частоту на 100%:
$0,86 \times 100\% = 86\%$.
Ответ: 86%

959 За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? пасмурных дней? (Используйте калькулятор.)

Для того чтобы найти частоту солнечных и пасмурных дней, сначала необходимо определить общее количество дней в летнем периоде. Лето включает в себя три месяца: июнь, июль и август.

Количество дней в июне — 30.

Количество дней в июле — 31.

Количество дней в августе — 31.

Следовательно, общее количество дней за лето составляет: $30 + 31 + 31 = 92$ дня.

Какова частота солнечных дней на побережье за лето?

Частота события вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов.

Количество солнечных дней (благоприятствующие исходы) по условию равно 67.

Общее количество дней (общее число исходов) равно 92.

Формула для расчета частоты:

$W(\text{солнечные дни}) = \frac{\text{Количество солнечных дней}}{\text{Общее количество дней}}$

Подставляем значения и вычисляем:

$W(\text{солнечные дни}) = \frac{67}{92} \approx 0,72826...$

Округлив результат до тысячных, получаем $0,728$.

Ответ: частота солнечных дней на побережье за лето примерно равна $0,728$.

Какова частота пасмурных дней?

Сначала найдем количество пасмурных дней. Если день не солнечный, будем считать его пасмурным.

Количество пасмурных дней = Общее количество дней − Количество солнечных дней.

Количество пасмурных дней = $92 - 67 = 25$.

Теперь найдем частоту пасмурных дней.

$W(\text{пасмурные дни}) = \frac{\text{Количество пасмурных дней}}{\text{Общее количество дней}}$

Подставляем значения и вычисляем:

$W(\text{пасмурные дни}) = \frac{25}{92} \approx 0,27173...$

Округлив результат до тысячных, получаем $0,272$.

Ответ: частота пасмурных дней за лето примерно равна $0,272$.

960 В марте в городе родилось 2348 мальчиков и 2027 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек в этом месяце. (Используйте калькулятор.)

Для того чтобы найти частоту рождения мальчиков и девочек, необходимо сначала вычислить общее количество новорожденных в городе за март. Частота события — это отношение количества случаев, когда событие произошло, к общему количеству наблюдений.

1. Найдем общее количество новорожденных:
$2348 \text{ (мальчиков)} + 2027 \text{ (девочек)} = 4375 \text{ (всего детей)}$

Теперь, зная общее количество, мы можем рассчитать частоту для каждой группы.

Частота рождения мальчиков

Для вычисления частоты рождения мальчиков разделим количество родившихся мальчиков на общее количество новорожденных.
$Частота_{мальчиков} = \frac{2348}{4375} \approx 0,5366857...$
Округлим результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: частота рождения мальчиков примерно равна 0,5367.

Частота рождения девочек

Для вычисления частоты рождения девочек разделим количество родившихся девочек на общее количество новорожденных.
$Частота_{девочек} = \frac{2027}{4375} \approx 0,4633142...$
Округлим результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: частота рождения девочек примерно равна 0,4633.

961 Используя данные таблицы 2, представьте графически зависимость частоты появления результата «остриём вверх» от числа проведённых экспериментов.

Для решения задачи необходимо представить графически зависимость частоты события от числа экспериментов. В условии задачи дана ссылка на «таблицу 2», которая не приведена. Поэтому для демонстрации решения воспользуемся гипотетическими данными, которые могли бы содержаться в такой таблице. Предположим, что проводился эксперимент по подбрасыванию канцелярской кнопки, и в таблице 2 зафиксированы результаты нескольких серий экспериментов.

Гипотетическая таблица 2. Результаты экспериментов по подбрасыванию кнопки

Частота (или относительная частота) события вычисляется по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где $A$ – событие (в данном случае – падение кнопки «остриём вверх»), $m$ – число наступлений события $A$, а $n$ – общее число проведённых экспериментов.

Чтобы построить график зависимости частоты от числа экспериментов, нужно рассчитать накопленные (кумулятивные) значения общего числа экспериментов и числа успешных исходов, а затем найти частоту для каждого шага.

Расчёт накопленных данных и частоты:

1. После 1-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_1 = 20$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_1 = 9$
   • Частота: $W_1 = \frac{9}{20} = 0.45$
2. После 2-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_2 = 20 + 50 = 70$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_2 = 9 + 22 = 31$
   • Частота: $W_2 = \frac{31}{70} \approx 0.443$
3. После 3-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_3 = 70 + 100 = 170$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_3 = 31 + 43 = 74$
   • Частота: $W_3 = \frac{74}{170} \approx 0.435$
4. После 4-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_4 = 170 + 200 = 370$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_4 = 74 + 85 = 159$
   • Частота: $W_4 = \frac{159}{370} \approx 0.430$
5. После 5-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_5 = 370 + 500 = 870$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_5 = 159 + 215 = 374$
   • Частота: $W_5 = \frac{374}{870} \approx 0.430$
6. После 6-й серии:
   • Общее число экспериментов: $n_6 = 870 + 1000 = 1870$
   • Общее число падений «остриём вверх»: $m_6 = 374 + 420 = 794$
   • Частота: $W_6 = \frac{794}{1870} \approx 0.425$

Теперь мы можем составить таблицу с точками для построения графика.

Построение графика:

Для графического представления зависимости необходимо построить систему координат:

• По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается общее число проведённых экспериментов ($n$).
• По вертикальной оси (оси ординат) откладывается частота появления результата «остриём вверх» ($W$).

На координатной плоскости отмечаются точки с координатами $(n, W)$ из второй таблицы. Полученные точки соединяются отрезками. График будет представлять собой ломаную линию.

Масштаб по осям выбирается для удобства отображения всех точек. Например:

• Ось $n$: от 0 до 2000 с шагом 200.
• Ось $W$: от 0.40 до 0.46 с шагом 0.01.

График, построенный по этим данным, покажет, что с увеличением числа экспериментов частота события колеблется, но постепенно приближается к некоторому постоянному значению (в нашем примере, около 0.425). Это свойство статистической устойчивости частоты.

Ответ:

Для построения графика зависимости частоты появления результата «остриём вверх» от числа проведённых экспериментов необходимо:

1. Взять данные из таблицы 2 о количестве экспериментов и количестве исходов «остриём вверх» в каждой серии.
2. Вычислить накопленные (кумулятивные) значения общего числа экспериментов ($n$) и общего числа исходов «остриём вверх» ($m$) после каждой серии.
3. Для каждого шага рассчитать частоту по формуле $W = m/n$.
4. Построить график, откладывая по оси абсцисс общее число экспериментов ($n$), а по оси ординат — вычисленную частоту ($W$).
5. Соединить полученные точки отрезками.

На основе приведённых гипотетических данных, точки для построения графика следующие: (20; 0.450), (70; 0.443), (170; 0.435), (370; 0.430), (870; 0.430), (1870; 0.425). График будет являться ломаной линией, соединяющей эти точки, и будет иллюстрировать стабилизацию частоты с ростом числа испытаний.

962 Проведите в классе эксперимент с кнопкой, описанный в этом пункте. Организуйте работу следующим образом:

Разделитесь на пары. Каждая пара должна подбросить кнопку 200 раз. Один из участников будет подбрасывать кнопку, а другой — фиксировать результаты в таблице.

Сведите все результаты в общую таблицу.

Найдите частоту каждого исхода.

Сопоставьте свой результат с результатом, описанным в тексте пункта.

Событие Подсчёты Всего

Поскольку данное задание представляет собой описание физического эксперимента, его точное решение требует проведения самого эксперимента. Ниже представлен пример выполнения этого задания с гипотетическими, но реалистичными данными.

В эксперименте с подбрасыванием канцелярской кнопки возможны два основных исхода (события):

• Кнопка упала остриём вверх (на шляпку).
• Кнопка упала остриём вниз/вбок (легла на бок).

В отличие от монеты, эти события не являются равновероятными. Вероятность каждого исхода зависит от формы кнопки (размера шляпки, длины острия). Обычно вероятность падения остриём вверх несколько больше.

Разделитесь на пары. Каждая пара должна подбросить кнопку 200 раз. Один из участников будет подбрасывать кнопку, а другой — фиксировать результаты в таблице.

Предположим, одна из пар провела эксперимент и получила следующие результаты после 200 подбрасываний.

Ответ: Одна пара, подбросив кнопку 200 раз, получила 118 падений остриём вверх и 82 падения на бок.

Сведите все результаты в общую таблицу.

Предположим, что в классе 15 пар, и каждая провела по 200 испытаний. Общее число испытаний составляет $15 \times 200 = 3000$. Суммируем результаты всех пар и получаем общую таблицу.

Ответ: По результатам 3000 бросков во всем классе было зафиксировано 1815 падений остриём вверх и 1185 падений на бок.

Найдите частоту каждого исхода.

Частота события вычисляется по формуле: $W(A) = \frac{m}{n}$ где $m$ — число наступлений события A, а $n$ — общее число испытаний.

1. Частота для одной пары (n = 200):

• Частота падения остриём вверх: $W_1 = \frac{118}{200} = 0.59$
• Частота падения на бок: $W_2 = \frac{82}{200} = 0.41$

2. Частота для всего класса (n = 3000):

• Частота падения остриём вверх: $W_{общ1} = \frac{1815}{3000} = 0.605$
• Частота падения на бок: $W_{общ2} = \frac{1185}{3000} = 0.395$

Ответ: Частота падения остриём вверх для одной пары составила 0.59, для всего класса — 0.605. Частота падения на бок для одной пары — 0.41, для всего класса — 0.395.

Сопоставьте свой результат с результатом, описанным в тексте пункта.

В учебнике мог быть приведён результат, полученный в ходе большого количества экспериментов, который можно считать оценкой теоретической вероятности. Предположим, что в тексте указана вероятность падения остриём вверх, равная 0.6.

Сравним наши результаты с этим значением:

• Результат одной пары (200 бросков): частота 0.59. Отклонение от 0.6 составляет $|0.59 - 0.6| = 0.01$.
• Результат всего класса (3000 бросков): частота 0.605. Отклонение от 0.6 составляет $|0.605 - 0.6| = 0.005$.

Это иллюстрирует закон больших чисел: при увеличении числа испытаний частота случайного события приближается к его вероятности. В нашем примере частота, полученная по результатам 3000 бросков (0.605), оказалась ближе к теоретическому значению (0.6), чем частота, полученная по результатам 200 бросков (0.59). Это показывает, что с увеличением количества экспериментов точность оценки вероятности возрастает.

Ответ: Частота, рассчитанная по результатам всего класса (0.605), оказалась ближе к гипотетическому результату из учебника (0.6), чем частота, рассчитанная по результатам одной пары (0.59). Это подтверждает, что с увеличением числа опытов статистическая частота события стабилизируется, приближаясь к его вероятности.

тат с результатом, описанным в тексте пункта.

963 Проведите 150 экспериментов по подбрасыванию обычной металлической крышки от бутылки. Каждый из экспериментов может завершиться одним из двух возможных исходов: крышка упадет вверх дном или вверх зубцами. Полученные результаты оформите в виде таблицы.

1) Подсчитайте частоту события А и события В.

2) Пусть двое играют, подбрасывая такую крышку. Один выигрывает при появлении события А, а другой — при появлении события В. Используя полученные статистические данные, определите, справедлива ли эта игра. Что нужно сделать, чтобы ваш вывод был более обоснованным?

Поскольку проведение реального физического эксперимента невозможно, мы смоделируем его результаты. Металлическая крышка от бутылки не является симметричным объектом, поэтому вероятности выпадения в разных положениях, как правило, не равны. Чаще всего крышка падает вверх зубцами (событие B), так как это положение более устойчиво из-за смещенного центра тяжести. Предположим, что в результате 150 подбрасываний мы получили следующие результаты, которые занесем в таблицу:

Событие	Подсчёты	Всего
A:	45	45
B:	105	105
Итого	-	150

1) Подсчитайте частоту события А и события В.

Статистическая частота события — это отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых испытаний. Обозначим общее число экспериментов как $N$, число выпадений крышки дном вверх (событие A) как $N_A$, и число выпадений зубцами вверх (событие B) как $N_B$.

По данным из нашей таблицы: $N = 150$, $N_A = 45$, $N_B = 105$.

Частота события A вычисляется по формуле:

$W(A) = \frac{N_A}{N} = \frac{45}{150}$

Сократим дробь:

$W(A) = \frac{45}{150} = \frac{9 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{9}{30} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{10} = 0.3$

Частота события B вычисляется по формуле:

$W(B) = \frac{N_B}{N} = \frac{105}{150}$

Сократим дробь:

$W(B) = \frac{105}{150} = \frac{21 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{21}{30} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{7}{10} = 0.7$

Сумма частот равна $W(A) + W(B) = 0.3 + 0.7 = 1$, что является проверкой правильности вычислений.

Ответ: Частота события А равна 0.3, частота события В равна 0.7.

2) Пусть двое играют, подбрасывая такую крышку. Один выигрывает при появлении события А, а другой — при появлении события В. Используя полученные статистические данные, определите, справедлива ли эта игра. Что нужно сделать, чтобы ваш вывод был более обоснованным?

Игра называется справедливой, если у всех игроков равные шансы на победу. В данном случае шанс на выигрыш для каждого игрока соответствует вероятности выпадения крышки в определенном положении. Мы можем использовать полученные статистические частоты как оценку этих вероятностей.

Шанс на выигрыш первого игрока (событие А) оценивается частотой $W(A) = 0.3$.

Шанс на выигрыш второго игрока (событие В) оценивается частотой $W(B) = 0.7$.

Так как $0.3 \neq 0.7$, шансы игроков на победу не равны. У второго игрока, который выигрывает при событии B, шанс на победу более чем в два раза выше ($0.7 / 0.3 \approx 2.33$), чем у первого игрока. Следовательно, игра не является справедливой.

Чтобы сделать вывод более обоснованным, необходимо увеличить количество испытаний. Статистическая частота является лишь оценкой истинной вероятности события. Согласно закону больших чисел, чем больше проведено экспериментов, тем ближе значение статистической частоты к истинной вероятности. Проведя значительно большее количество подбрасываний (например, 1000 или 10000), мы получили бы более точные значения частот, что позволило бы с большей уверенностью судить о справедливости игры.

Ответ: Игра не является справедливой, так как, согласно статистическим данным, шансы игроков на выигрыш не равны. Чтобы вывод был более обоснованным, необходимо провести значительно большее количество экспериментов (подбрасываний крышки).