Страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

По данным таблицы 3 определите, чему равна частота выпадения решки в каждом исследовании.

Для решения задачи необходимо определить частоту выпадания решки в каждом исследовании. Частота (или относительная частота) события — это отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу проведённых испытаний.

Формула для расчёта частоты:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $P(A)$ — частота события A, $m$ — число наступлений события A (в нашем случае — число выпаданий решки), а $n$ — общее число испытаний (общее число бросков монеты).

Поскольку данные из таблицы 3 не предоставлены, для демонстрации решения воспользуемся гипотетическими данными, представленными в следующей таблице:

Теперь рассчитаем частоту для каждого исследования на основе этих данных.

Исследование 1

В первом исследовании общее число бросков монеты $n_1 = 100$. Решка выпала $m_1 = 53$ раза. Рассчитаем частоту:

$P_1 = \frac{m_1}{n_1} = \frac{53}{100} = 0.53$

Ответ: 0,53

Исследование 2

Во втором исследовании общее число бросков монеты $n_2 = 250$. Решка выпала $m_2 = 120$ раз. Рассчитаем частоту:

$P_2 = \frac{m_2}{n_2} = \frac{120}{250} = \frac{12}{25} = 0.48$

Ответ: 0,48

Исследование 3

В третьем исследовании общее число бросков монеты $n_3 = 1000$. Решка выпала $m_3 = 495$ раз. Рассчитаем частоту:

$P_3 = \frac{m_3}{n_3} = \frac{495}{1000} = 0.495$

Ответ: 0,495

каждом исследовании.

Как связаны частота случайного события и вероятность?

Частота и вероятность случайного события — это две тесно связанные, но различные характеристики, описывающие случайные явления. Вероятность является теоретической концепцией, в то время как частота — это экспериментальная, или эмпирическая, величина.

Частота случайного события

Относительная частота случайного события $A$ — это отношение числа испытаний $m$, в которых событие $A$ наступило, к общему числу $n$ фактически проведенных испытаний. Она вычисляется по результатам уже состоявшегося эксперимента по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

Частота — это апостериорная (опытная) характеристика. Её значение зависит от конкретной серии экспериментов и может меняться от одной серии к другой. Например, если подбросить монету 20 раз и орел выпадет 9 раз, то частота этого события в данной серии испытаний будет $W(Орел) = \frac{9}{20} = 0.45$. В другой серии из 20 бросков орел может выпасть 12 раз, и частота будет уже $W(Орел) = \frac{12}{20} = 0.6$.

Вероятность случайного события

Вероятность — это априорная (теоретическая) мера объективной возможности наступления события. Согласно классическому определению, вероятность события $A$ — это отношение числа $k$ исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу $N$ всех равновозможных элементарных исходов испытания.

$P(A) = \frac{k}{N}$

Вероятность является постоянной теоретической величиной, которая не зависит от результатов каких-либо экспериментов. Для идеальной симметричной монеты вероятность выпадения орла всегда постоянна и равна $P(Орел) = \frac{1}{2} = 0.5$.

Связь между частотой и вероятностью

Связь между этими двумя понятиями описывается фундаментальным принципом теории вероятностей — законом больших чисел (в частности, теоремой Якоба Бернулли). Этот закон утверждает, что при неограниченном увеличении числа испытаний ($n \to \infty$) относительная частота $W(A)$ случайного события стремится к его теоретической вероятности $P(A)$.

Математически это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ вероятность того, что абсолютное отклонение частоты от вероятности будет меньше $\epsilon$, стремится к единице при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} P(|W(A) - P(A)| < \epsilon) = 1$

Проще говоря, чем больше мы проводим однородных независимых испытаний, тем ближе, как правило, оказывается значение относительной частоты к постоянному числу — вероятности этого события.

Таким образом:

• Вероятность — это теоретический прогноз.
• Частота — это результат практической проверки этого прогноза.
• При малом числе опытов частота может сильно отличаться от вероятности.
• При большом числе опытов частота стабилизируется и становится надежной экспериментальной оценкой вероятности.

Ответ: Частота случайного события является его экспериментальной (эмпирической) характеристикой, которая при большом количестве испытаний стремится к его теоретической вероятности и служит ее оценкой. Эта фундаментальная связь описывается законом больших чисел: чем больше проводится испытаний, тем с большей уверенностью можно утверждать, что относительная частота события будет близка к его вероятности.

Где на вероятностной шкале (см. рис. 9.10) надо расположить событие D: кнопка упала остриём вверх?

D

Событие D заключается в том, что канцелярская кнопка после падения окажется в положении "остриём вверх". У кнопки есть два основных устойчивых положения, в которых она может оказаться после падения:

1. На шляпке (остриём вверх).
2. На боку (опираясь на край шляпки и остриё).

В отличие от подбрасывания симметричной монеты, эти два исхода не являются равновероятными. Из-за формы кнопки (широкая, плоская шляпка и короткое остриё) и расположения её центра масс, который смещен к шляпке, положение "на шляпке" является значительно более устойчивым. Поэтому кнопка с гораздо большей вероятностью упадёт на шляпку, чем на бок.

Вероятностная шкала имеет значения от 0 до 1, где:

• 0 — невозможное событие.
• 1 — достоверное событие.
• 0,5 — равновероятное событие (например, выпадение орла на монете).

Поскольку событие D (кнопка упала остриём вверх) происходит чаще, чем противоположное ему событие, его вероятность больше 0,5. Обозначим вероятность события D как $P(D)$. Тогда можно утверждать, что $P(D) > 0,5$. Однако это событие не является достоверным (кнопка всё же может упасть на бок), поэтому $P(D) < 1$.

Следовательно, на вероятностной шкале это событие нужно расположить в интервале от 0,5 до 1, то есть правее центра, в области "весьма вероятных" событий.

Ответ: Событие D (кнопка упала остриём вверх) является весьма вероятным, но не достоверным. Его вероятность больше 0,5, но меньше 1. Поэтому на вероятностной шкале его следует расположить правее середины (отметки 0,5), но левее конца шкалы (отметки 1).

970 По статистике на каждые 1000 выпущенных лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную лампочку? исправную лампочку?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность $P$ некоторого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$.

В данном случае общее число выпущенных лампочек, а значит и общее число возможных исходов, равно $n = 1000$.

Какова вероятность купить бракованную лампочку?

Событие, которое нас интересует, — покупка бракованной лампочки. Число благоприятных исходов для этого события — это количество бракованных лампочек. По условию, на 1000 лампочек приходится 3 бракованные, следовательно, $m = 3$.

Теперь можем рассчитать вероятность купить бракованную лампочку:

$P_{\text{брак}} = \frac{m}{n} = \frac{3}{1000} = 0.003$

Ответ: 0,003.

Какова вероятность купить исправную лампочку?

Событие, которое нас интересует, — покупка исправной лампочки. Сначала найдем количество исправных лампочек. Для этого из общего числа лампочек вычтем количество бракованных:

$m = 1000 - 3 = 997$

Таким образом, число исходов, благоприятствующих покупке исправной лампочки, равно $m = 997$.

Рассчитаем вероятность купить исправную лампочку:

$P_{\text{исправн}} = \frac{m}{n} = \frac{997}{1000} = 0.997$

Также эту вероятность можно найти другим способом. События "купить бракованную лампочку" и "купить исправную лампочку" являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Поэтому:

$P_{\text{исправн}} = 1 - P_{\text{брак}} = 1 - 0.003 = 0.997$

Ответ: 0,997.