Страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1. Какие эксперименты называют случайными экспериментами? Приведите примеры.

Какие эксперименты называют случайными экспериментами?

Случайным экспериментом (также его называют случайным опытом или испытанием) в теории вероятностей называют любое действие или наблюдение, которое можно многократно повторять в одних и тех же условиях, но результат которого нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Исход такого эксперимента зависит от случая.

Ключевыми характеристиками случайного эксперимента являются:

• Воспроизводимость. Эксперимент можно повторить, по крайней мере теоретически, неограниченное количество раз при сохранении одного и того же комплекса условий.
• Непредсказуемость. Исход каждого конкретного испытания заранее неизвестен и не может быть предсказан однозначно.
• Определенность множества исходов. Несмотря на непредсказуемость конкретного результата, совокупность всех возможных исходов эксперимента известна заранее. Это множество называется пространством элементарных событий.

Приведите примеры.

Примерами случайных экспериментов могут служить:

• Подбрасывание монеты. Мы знаем, что возможные исходы — это «орел» или «решка», но какой именно результат будет при конкретном броске, предсказать нельзя.
• Бросок игрального кубика. Пространство элементарных событий состоит из чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Результат каждого отдельного броска случаен.
• Вытягивание шара из урны, в которой находятся шары разного цвета (например, 5 белых и 3 черных). Исход — цвет вытянутого шара.
• Выстрел по мишени. Возможные исходы — «попадание» или «промах». Даже у опытного стрелка результат каждого выстрела содержит элемент случайности.
• Измерение времени жизни радиоактивного атома. Мы знаем, что атом распадется, но точный момент времени распада является случайной величиной.
• Проверка изделия из партии на наличие брака. Исход — «изделие годно» или «изделие бракованное».

Ответ: Случайный эксперимент — это воспроизводимый опыт, результат которого нельзя предсказать заранее, но множество всех возможных исходов известно. Примеры: подбрасывание монеты, бросок игральной кости, вытягивание карты из колоды.

2 Что называется частотой случайного события?

Частотой (или относительной частотой) случайного события в серии испытаний называют отношение числа тех испытаний, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых испытаний. Частота является эмпирической, то есть основанной на опыте, характеристикой события, в отличие от вероятности, которая является теоретической характеристикой.

Формула для вычисления частоты случайного события A выглядит следующим образом:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где:
W(A) – частота события A;
m – число испытаний, в которых событие A наступило (это число также называют абсолютной частотой);
n – общее число проведённых испытаний.

Свойства частоты:

1. Частота любого случайного события является числом, заключённым в пределах от 0 до 1: $0 \le W(A) \le 1$.
2. Если событие является невозможным (то есть оно ни разу не произошло в серии испытаний), то его частота равна 0, так как $m=0$.
3. Если событие является достоверным (то есть оно происходило в каждом испытании), то его частота равна 1, так как $m=n$.

Связь с вероятностью:

При проведении большого количества испытаний частота случайного события, как правило, мало отличается от его теоретической вероятности. Этот эмпирический факт, подтверждаемый законом больших чисел, позволяет использовать частоту в качестве статистической оценки вероятности. Таким образом, для большого n справедливо примерное равенство: $W(A) \approx P(A)$, где P(A) – теоретическая вероятность события A.

Пример:

Допустим, производится контроль качества партии из 1000 деталей. В ходе проверки было обнаружено 7 бракованных деталей.
Событие A – выбранная деталь является бракованной.
Общее число испытаний (проверенных деталей): $n = 1000$.
Число наступления события A (количество бракованных деталей): $m = 7$.
Тогда частота появления бракованной детали в данной партии равна:
$W(A) = \frac{7}{1000} = 0,007$.

Ответ: Частотой случайного события называется отношение числа испытаний, в которых это событие произошло (m), к общему числу проведённых испытаний (n). Она вычисляется по формуле $W(A) = \frac{m}{n}$.

3 Как оценить вероятность случайного события? В каких границах находится вероятность случайного события? Вероятность какого события равна 1? равна 0?

Как оценить вероятность случайного события?

Вероятность случайного события оценивается на основе классического определения вероятности. Согласно этому определению, для нахождения вероятности необходимо разделить количество исходов, которые благоприятствуют данному событию, на общее количество всех равновозможных исходов этого эксперимента.

Формула для расчёта вероятности события $A$ выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — это число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

Ответ: Вероятность случайного события оценивается как отношение числа благоприятных для него исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$).

В каких границах находится вероятность случайного события?

Вероятность любого случайного события всегда является числом в диапазоне от 0 до 1 включительно. Она не может быть меньше 0 или больше 1.

Это ограничение следует из самого определения вероятности. Число благоприятных исходов $m$ не может быть отрицательным ($m \ge 0$) и не может превышать общее число исходов $n$ ($m \le n$). Таким образом, всегда выполняется двойное неравенство:

$0 \le m \le n$

Если разделить все части этого неравенства на $n$ (которое всегда больше нуля), мы получим границы для вероятности:

$\frac{0}{n} \le \frac{m}{n} \le \frac{n}{n}$

Что эквивалентно:

$0 \le P(A) \le 1$

Ответ: Вероятность случайного события находится в границах от 0 до 1 включительно.

Вероятность какого события равна 1?

Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию. Достоверным называется событие, которое гарантированно произойдет в результате эксперимента. Для такого события все возможные исходы являются благоприятными, то есть число благоприятных исходов $m$ равно общему числу исходов $n$.

Вероятность достоверного события равна:

$P(\text{достоверное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1$

Например, при броске стандартного игрального кубика событие «выпадет число от 1 до 6» является достоверным, и его вероятность равна 1.

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность какого события равна 0?

Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию. Невозможным называется событие, которое в рамках данного эксперимента произойти не может ни при каких обстоятельствах. Для такого события не существует благоприятных исходов, то есть их число $m$ равно 0.

Вероятность невозможного события равна:

$P(\text{невозможное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n} = 0$

Например, при броске стандартного игрального кубика событие «выпадет число 8» является невозможным, и его вероятность равна 0.

Ответ: Вероятность невозможного события равна 0.

4 Покажите, как на вероятностной шкале расположены по отношению друг к другу события A, B, C, D, E, если известно, что $P(A) = 0,5$, событие B – маловероятное, событие C – очень вероятное, событие D – практически невероятное, $P(E) = 1$.

Вероятностная шкала представляет собой числовой отрезок от 0 до 1. На этой шкале 0 соответствует невозможному событию (которое никогда не произойдет), а 1 — достоверному событию (которое произойдет со стопроцентной вероятностью). Чтобы расположить события A, B, C, D и E, проанализируем каждое из них.

Событие D

Это событие охарактеризовано как "практически невероятное". Это означает, что его вероятность очень мала и близка к нулю. Математически это можно записать как $P(D) \approx 0$. На шкале оно будет находиться в самом начале, у отметки 0.

Событие B

Это событие "маловероятное". Его вероятность больше, чем у практически невероятного события D, но меньше, чем 0,5 (вероятность 0,5 означает равные шансы). Таким образом, его вероятность находится в интервале $0 < P(B) < 0,5$. На шкале оно будет расположено между событием D и серединой шкалы.

Событие A

Для этого события дана точная вероятность: $P(A) = 0,5$. Такое событие называют равновероятным. На вероятностной шкале оно располагается ровно посередине между 0 и 1.

Событие C

Это "очень вероятное" событие. Его вероятность больше, чем 0,5, и приближается к 1, но не равна 1. Таким образом, $0,5 < P(C) < 1$. На шкале оно будет находиться между серединой и правым концом (отметкой 1).

Событие E

Вероятность этого события равна 1: $P(E) = 1$. Это достоверное событие, которое гарантированно произойдет. На вероятностной шкале оно находится в крайней правой точке, соответствующей значению 1.

Таким образом, мы можем выстроить неравенство для вероятностей этих событий:

$P(D) < P(B) < P(A) < P(C) < P(E)$

Подставляя известные и оценочные значения, получаем:

$P(D) \approx 0 < P(B) < 0,5 < P(C) < 1$

Визуально на вероятностной шкале это будет выглядеть так:

Ответ: На вероятностной шкале от 0 до 1 события располагаются в следующем порядке по возрастанию их вероятности: D, B, A, C, E. Событие D ("практически невероятное") находится очень близко к 0. Событие B ("маловероятное") находится между 0 и 0,5. Событие A ($P(A)=0,5$) находится ровно посередине шкалы. Событие C ("очень вероятное") находится между 0,5 и 1. Событие E ($P(E)=1$) находится в точке 1.

1 Баскетболист на тренировке учился бросать мяч в кольцо. Выполнив 50 бросков, он попал в кольцо 36 раз. Какова частота попаданий в кольцо на тренировке?

1. Частота события (в данном случае — попадания в кольцо) определяется как отношение числа успешных исходов к общему числу проведенных испытаний.

Формула для расчета частоты $W$ выглядит так:
$W = \frac{M}{N}$
где:
$M$ — это количество раз, когда событие произошло (число попаданий).
$N$ — это общее количество испытаний (общее число бросков).

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
Общее число бросков: $N = 50$.
Число попаданий в кольцо: $M = 36$.

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения частоты попаданий:
$W = \frac{36}{50}$

Чтобы представить результат в виде десятичной дроби, можно разделить числитель на знаменатель или привести дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 2:
$W = \frac{36 \times 2}{50 \times 2} = \frac{72}{100} = 0.72$

Таким образом, частота попаданий в кольцо на тренировке составляет 0,72.
Ответ: 0,72.

2 В магазине подсчитали, что на каждую 1000 проданных телефонов приходится 6 неисправных. Какова вероятность того, что купленный телефон будет исправен?

Вероятность события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Событие, вероятность которого необходимо найти, — это покупка исправного телефона.

1. Общее число всех исходов ($n$) равно общему количеству телефонов в рассматриваемой партии, то есть $n = 1000$.

2. Благоприятным исходом является покупка исправного телефона. Чтобы найти количество исправных телефонов ($m$), нужно из общего числа телефонов вычесть количество неисправных:
$m = 1000 - 6 = 994$.
Таким образом, число благоприятных исходов равно 994.

3. Теперь рассчитаем вероятность $P$ того, что купленный телефон будет исправен, по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим найденные значения в формулу:
$P = \frac{994}{1000} = 0,994$

Ответ: 0,994

3 Перебрав цветки подаренной ей ветки сирени, девушка обнаружила три пятилепестковых цветка. Сколько примерно цветков на этой ветке, если известно, что вероятность того, что в выбранном наугад цветке сирени пять лепестков, равна 0,01?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием статистической вероятности. Вероятность события можно рассматривать как частоту, с которой это событие происходит в большом количестве испытаний.

Обозначим:
$N$ — общее (примерное) количество цветков на ветке сирени. Это искомая величина.
$k$ — количество найденных пятилепестковых цветков (благоприятных исходов). По условию, $k = 3$.
$P$ — вероятность того, что случайно выбранный цветок имеет пять лепестков. По условию, $P = 0,01$.

Вероятность события определяется по формуле:
$P = \frac{k}{N}$

В данном случае, мы можем считать, что наблюдаемая частота (отношение найденных "счастливых" цветков к общему их числу) примерно равна заданной вероятности. Мы можем использовать это соотношение, чтобы оценить общее количество цветков $N$.

Выразим $N$ из формулы:
$N = \frac{k}{P}$

Теперь подставим в эту формулу известные нам значения:
$N = \frac{3}{0,01}$

Выполним вычисление:
$N = 300$

Таким образом, на ветке сирени было примерно 300 цветков.

Ответ: 300.

1 Частотой случайного события в серии экспериментов называют:

1) число экспериментов, в которых это событие произошло

2) разность общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов, в которых это событие произошло

3) отношение числа экспериментов, в которых это событие произошло, к общему числу проведённых экспериментов

4) отношение общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов, в которых это событие произошло

Для ответа на данный вопрос необходимо знать определение частоты случайного события в теории вероятностей и статистике.

Частотой случайного события (также называемой относительной частотой) в серии экспериментов называется отношение числа экспериментов, в которых это событие произошло, к общему числу проведённых экспериментов.

Пусть проведено $n$ экспериментов. Пусть событие $A$ произошло в $m$ из этих экспериментов. Тогда частота события $A$ вычисляется по формуле:

$W(A) = \frac{m}{n}$

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) число экспериментов, в которых это событие произошло
Это значение $m$, которое называют абсолютной частотой. Это не является частотой (относительной частотой). Следовательно, вариант неверный.

2) разность общего числа проведённых экспериментов и числа экспериментов, в которых это событие произошло
Это вычисляется как $n - m$ и представляет собой число экспериментов, в которых событие не произошло. Следовательно, вариант неверный.

3) отношение числа экспериментов, в которых это событие произошло, к общему числу проведённых экспериментов
Это в точности соответствует определению частоты: отношение $m$ к $n$. Следовательно, вариант верный.

4) отношение общего числа проведённых экспериментов к числу экспериментов, в которых это событие произошло
Это отношение $\frac{n}{m}$, то есть величина, обратная частоте (при $m > 0$). Следовательно, вариант неверный.

Таким образом, правильное определение частоты случайного события дано в третьем пункте.

Ответ: 3

2 Ваня в течение года получил 52 отметки по алгебре, из них 13 отметок — пятёрки. Какова частота события «Ваня получил пятёрку по алгебре»?

Частота события определяется как отношение числа исходов, в которых данное событие произошло, к общему числу проведённых испытаний.

В данной задаче событие — это «Ваня получил пятёрку по алгебре».

Общее число испытаний — это общее количество отметок, полученных Ваней по алгебре. По условию, это $n = 52$.

Число исходов, благоприятствующих событию, — это количество полученных пятёрок. По условию, это $m = 13$.

Формула для расчёта частоты события $A$ выглядит так:
Частота(A) = $\frac{m}{n}$

Подставим наши значения в формулу:
Частота = $\frac{13}{52}$

Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 13:
$\frac{13}{52} = \frac{13 \div 13}{52 \div 13} = \frac{1}{4}$

Чтобы получить ответ в виде десятичной дроби, выполним деление:
$\frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.