Номер 974, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 9.3. Вероятность случайного события. Глава 9. Частота и вероятность - номер 974, страница 269.

974 Если вероятность события A составляет $30\%$, то можно ли утверждать, что при проведении 900 соответствующих случайных экспериментов событие A наступит ровно в 270 из них?

Нет, такое утверждение делать нельзя.

Вероятность события — это теоретическая мера, которая описывает долгосрочную частоту наступления события при многократном повторении эксперимента. Она не даёт гарантии точного результата для конечной серии испытаний.

В данном случае нам даны:

• Вероятность события А: $p = 30\% = 0.3$
• Количество экспериментов: $n = 900$

Мы можем вычислить математическое ожидание числа наступлений события А, то есть наиболее вероятное количество раз, которое оно произойдет. Оно вычисляется по формуле:

$E(X) = n \cdot p$

Подставим наши значения:

$E(X) = 900 \cdot 0.3 = 270$

Число 270 является самым вероятным исходом, но это не значит, что оно гарантированно произойдет. Поскольку каждый из 900 экспериментов является случайным, фактическое число наступлений события А является случайной величиной. Оно может быть равно 270, но с такой же легкостью может оказаться равным 269, 271, 260 или любому другому целому числу в некотором диапазоне вокруг 270. Каждый из этих исходов имеет свою собственную, отличную от нуля, вероятность.

Утверждение "событие А наступит ровно в 270 из них" было бы верным только в том случае, если бы вероятность этого конкретного исхода была равна 1 (или 100%). Однако вероятность того, что событие А наступит ровно $k=270$ раз в $n=900$ испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

$P_{900}(270) = C_{900}^{270} \cdot (0.3)^{270} \cdot (0.7)^{630}$

Это значение, хотя и является максимальным по сравнению с вероятностями для других $k$, но оно очень мало и далеко от 1. Используя нормальное приближение, можно показать, что эта вероятность составляет всего около 2.9%.

Закон больших чисел утверждает, что при увеличении числа экспериментов ($n \to \infty$) относительная частота наступления события ($k/n$) будет стремиться к его вероятности ($p$). Но это не гарантирует, что для конечного числа $n=900$ абсолютное число успехов $k$ будет в точности равно $n \cdot p$.

Ответ: Нет, утверждать, что событие А наступит ровно в 270 случаях, нельзя. Число 270 является лишь наиболее вероятным количеством наступлений события, но не гарантированным результатом.