Номер 10, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 10, страница 252.

10 Сократите дробь $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1}$.

1) $\frac{1}{2a+1}$

2) $\frac{2a-1}{2a+1}$

3) $\frac{1}{4a+1}$

4) $\frac{4a-1}{4a+1}$

Для того чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель, а затем сократить общие множители.

Разложение числителя на множители

Числитель дроби $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$ и $y^2 = 1^2$. Значит, $x = 2a$ и $y = 1$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.

Таким образом, числитель можно представить в виде:

$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.

Разложение знаменателя на множители

Знаменатель дроби $4a^2 - 1$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$ и $y^2 = 1^2$. Значит, $x = 2a$ и $y = 1$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде:

$4a^2 - 1 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Сокращение дроби

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1} = \frac{(2a - 1)^2}{(2a - 1)(2a + 1)}$

Теперь сократим общий множитель $(2a - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2a - 1 \neq 0$):

$\frac{(2a-1) \cdot (2a-1)}{(2a-1) \cdot (2a+1)} = \frac{2a-1}{2a+1}$

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{2a-1}{2a+1}$